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第七章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 1利用二重积分的性质，比较下列积分的大小： 与，其中是矩形区域; ，， ，则有 而不恒等于，故 与，其中由圆周所围成的闭区域. 与圆在时相切 故 而不恒等于 故 2利用二重积分的性质，估计下列积分的值： ，其中是矩形区域; ，， ，其中为环形闭区域. 第二节 二重积分的计算 1计算下列二重积分： ，为矩形区域：. 原式= ，是由直线，，所围成的闭区域. 原式= ，是由直线，，所围成的平面闭区域. 原式= ，是由直线，，所围成的闭区域. 原式= ，是半圆形闭区域：，. 原式= ，由直线，，所围成的闭区域. 原式= ，由，，，围成. 原式= 2计算下列各题： 原式= 原式= 3画出积分区域，并改变积分次序： 原式= 原式= 原式= 原式= 原式= ＋ 原式= 4计算由四个平面，，，所围成的柱体被平面及截得的立体体积. 5求由平面，，所围成的柱体被平面及抛 物面截得的立体体积. 6设平面薄片所占的闭区域由直线，及轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量. 第二节 二重积分的计算 1化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： 原式= 原式= 2化下列二次积分为极坐标形式的二次积分，并计算积分值： 原式= 原式= 3利用极坐标计算下列二重积分： ，是由圆周所围成的闭区域. 解： 原式= ，是环形闭区域：. 解： 原式= ，其中：. 解： 原式= 4设平面薄片所占的闭区域是由螺线上一段弧与射线所围成，它的面密度，求这薄片的质量. 解： 5设，其中为圆域，为连续函数，求 1） 2） 第三节 三重积分的概念和计算 1化三重积分为三次积分，其中积分区域： 由曲面及平面所围成. 由曲面及柱面所围成. 2计算下列三重积分： ，是由平面，，及抛物柱面所围成闭区域 解： 原式= ，是由锥面，柱面，及平面所围成的闭区域. 解： 原式=