第七节 正弦定理余弦定理应用举例练习题(年高考总复习).docVIP

第七节　正弦定理、余弦定理应用举例 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　) A．a km B.a km C.a km D．2a km 解析　利用余弦定理解ABC.易知ACB＝120°，在ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2， AB＝a. 答案　B 2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是(　　) A．2 km B．3 km C．3 km D．2 km 解析　如图，由条件知AB＝24×＝6，在ABS中，BAS＝30°，AB＝6，ABS＝180°－75°＝105°，所以ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝sin30°＝3. 答案　B 3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是(　　) A．35海里 B．35海里 C．35海里 D．70海里 解析　设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且ECF＝120°， EF＝ ＝＝70. 答案　D 4．(2014·济南调研)为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是(　　) A．20 m B．20 m C．20(1＋) m D．30 m 解析　如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB＝20 m，所以BM＝20 m．又在RtAMD中， DM＝20 m，ADM＝30°， AM＝DMtan30°＝(m)． AB＝AM＋MB＝＋20 ＝20(m)． 答案　A 5．(2013·天津卷)在ABC中，ABC＝，AB＝，BC＝3，则sinBAC＝(　　) A. B. C. D. 解析　由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosABC＝()2＋32－2××3×＝5，所以AC＝，再由正弦定理：sinBAC＝·BC＝＝. 答案　C 6．(2014·滁州调研)线段AB外有一点C，ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小(　　) A. B．1 C. D．2 解析　如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值． 由余弦定理，得 DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60° ＝(200－80t)2＋2 500t2－(200－80t)·50t ＝12 900t2－42 000t＋40 000. 当t＝时，DE最小． 答案　C 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得ABC＝120°，则A、C两地的距离为________km. 解析　如右图所示，由余弦定理可得： AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700， AC＝10(km)． 答案　10 8．如下图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile.此船的航速是________n mile/h. 解析　设航速为v n mile/h 在ABS中，AB＝v，BS＝8，BSA＝45°， 由正弦定理得：＝， v＝32(n mile/h)． 答案　32 9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得BDC＝45°，则塔AB的高是________米． 解析　在BCD中 ，CD＝10，BDC＝45°，BCD＝15°＋90°＝105°，DBC＝30°，＝， BC＝＝10(米)． 在Rt△ABC中，tan60°＝，AB＝BCtan60° ＝10(米)． 答案　10 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．(201