第三章 塑性本构关系(续新(给学生).docVIP

第三章 塑性本构关系 §3.1 概述 一、单向拉伸条件下的塑性本构关系 图3.1 从韧性金属材料的单向拉伸试验曲线可发现如下现象： （1）σ＜σs时，处于弹性阶段，无论加载还是卸载，都服从虎克定律σ=Eε。 （2）σ＞σs时，进入塑性阶段。在任何时刻加载与卸载都服从不同的规律。 继续加载：产生新的不可恢复的塑性变形，服从塑性变形规律（曲线SABF）， 卸载：应力的减少量与应变的减少量之间服从弹性变形规律（虎克定律）。 （3）进入塑性阶段后，设从某一点（例如图中的B点）开始卸载，然后再重新加载。 开始阶段：Δσ=EΔε，即应力的增加量与应变的增加量之间仍符合弹性关系（虎克定律）直至卸载开始点（B点）为止。 继续加载：重新进入塑性阶段，卸载开始点（B点）的应力值相当于卸载后重新加载时的屈服应力，称为“后继屈服应力”，记做σh。 理想塑性材料：σh=σs（原始屈服应力） 强化材料：σh＞σσh与σdσ0时为加载，dσ0时为卸载。 （3）塑性阶段加载时的塑性应力应变关系，也可由单向拉伸实验定出（即图中的曲线ABF）。 （4）如果是强化材料，σh与σs的关系也可由拉伸试验的应力—应变曲线得出。 在塑性力学问题中虽也有一些问题是属于单向应力状态的（如桁架、梁的纯弯曲等），但更多的问题则属于复杂应力状态。 因此塑性本构关系研究的主要内容就是在复杂应力状态下的屈服条件，加载准则，强化条件（只对强化材料），以及塑性应力应变关系的规律。 §3.2 屈服条件的一般形式 单向拉伸时，屈服条件是σ=σs（σs由单向拉伸实验得到）。 复杂应力状态下，屈服条件和六个应力分量都有关。都有关。即： 屈服条件： f1（）= C （3—1） f1：各应力分量某种形式的函数，称为屈服函数。 C：与材料性质有关的常数。 假定材料各向同性，则屈服条件为： f（）= C （3—2） f是的对称函数（即三个主应力可以互换位置而函数值不变）。 而都是的对称函数，所以，可以把屈服条件写成应力张量三个不变量的对称形式的函数，即 屈服条件： f2（）= C （3—3） 而应力球张量不影响屈服，因而上式中I1，I2，I3可以用应力偏张量的三个不变量J1，J2，J3代替。又∵J1=0，故 屈服条件： f3（J2，J3）= C （3—4） 因为J3是应力偏量各分量的三次函数，当所有应力分量均改变符号（即由拉变压）时，J3也变号。但由实验结果知，一般韧性金属材料抗拉和抗压是具有对称性质的，即所有应力分量均改变符号时，（3—4）式左方的屈服函数值应当不变。故可断定： 屈服函数应当是应力偏张量第二，第三不变量J2和J3的函数，同时又必须是J3的偶函数。 §3.3 应力空间与屈服曲面 （一）应力空间的概念 把六个应力分量看成六维空间的坐标，则每一应力状态（用六个应力分量来表示）就相当于六维空间中的一个点。由于是用应力分量作为坐标，所以称这个六维空间为六维应力空间。屈服条件（3—1）式就是六维应力空间中的一个超曲面（为了区别于普通三维空间中的曲面，称为超曲面）。 屈服条件多数用以主应力或不变量表示的。因此，可按下面方式建立应力空间和屈服曲面： 应力空间：建立以σ1，σ2，σ3为坐标的三维空间，称为应力空间。 应力空间中的—点P，就代表一个应力状态，它的三个主应力是σ1，σ2，σ3。 屈服曲面：屈服条件式（3.2）表示应力空间中的一个曲面，称为屈服曲面。 图3.2 图3.3 （二）等倾线与π平面 等倾线：应力空间中通过原点与σ1，σ2，σ3轴正方向成相同夹角的直线，称为等倾线（如图3.3中的OL线）。 等倾线方向余弦： （，，） （3—5） 等倾线方程式： σ1=σ2=σ3 （3—6） 于是可知，等倾线上的任意点所代表的应力状态都是球张量（σ1=σ2=σ3 =σm），其偏张量为零。 π平面：经过原点O以等倾线为法线的平面称为π平面（见图3.3）， π平面方程式： σ1+σ2+σ3=0 π平面方程式推导如下： ， 。 因而可知π平面上的任意点所代表的应力状态的σm=(σx+σy+σz)= (σ1+σ2+σ3) =0，即其球张量为零，这个应力状态本身就是一个偏张量。 在应力空间中任一点P对应的矢量在三个轴上的投影分别等于。