第三讲 空间位置关系与综合题目的向量解法.docVIP

第三讲　空间位置关系与综合题目的向量解法 [知识梳理] ［知识盘点］ 一．平行关系 （1）所谓直线的方向向量，就是指　　　　　　　　　　　　的向量，一条直线的方向向量有　　　个。 （2）所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的直线，一个平面的法向量也有 　　　　　个。 1．线线平行 证明两条直线平等，只要证明这两条直线的方向向量是　　　　　　　　　，也可以证这两条直线平行于同一个平面的法向量。 2线面平行 证明线面平行的方法： （1）证明直线的方向向量与平面的法向量　　　　　　　　　　　； （2）证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量　　　　　　　　　； （3）利用共面向量基本定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量是　　　　　　　　　　　　　。　 3．面面平行的证明方法： （1）转化为　　　　　　　　　、　　　　　　　　　处理； （2）证明这两个平面的法向量是　　　　　　　　　　。 二．垂直关系 4．线线垂直：证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是　　　　　　　　； 5．线面垂直的证明方法： （1）证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是　　　　　　　　　　　； （2）证明直线与平面内的　　　　　　　　　　　　　　； 6．面面垂直的证明方法： （1）转化为证明　　　　　　　、　　　　　　　　　； （2）证明这两个平面的法向量是　　　　　　　　。 ［特别提醒］ 1.用向量证明立体几何问题，有两种基本思维：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；别一种是用向量的坐标表示几何量，共分为三步进行判断：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量的运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题。 2．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何定理。例如要证明线面平行，只需要证明平面中的一条直线和平面内的一条直线平行，即转化为证明线线平行问题，也就是用向量方法证明直线时，只需要证明直线的方向向量共线即可。 3．向量作为沟通“数”与“形”的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载体，只有掌握了向量运算的各种几何意义，才能较好地利用向量这一工具解决实际问题。 4．以柱体、锥体为依托，考查空间中的线线、线面、面面关系，以及角和距离是高考的“热点”，在角题时，应深入挖掘里面的特殊关系，尤其是垂直关系，建立空间直角坐标系，是解决此类问题的关键。 [基础闯关] 1．正方体中，是的中点，是底面的中心，是棱上任意一点，则直线与直线所成的角是( ) (A) (B) (C) (D)与点的位置有关 2．在正方体中，是底面的中心，分别是棱、的中点，则直线( ) (A)是与的公垂线 (B)垂直于，但不垂直于 (C)垂直于，但不垂直于 (D)与、都不垂直 3．在正方体中，是异面直线和的公垂线，则直线与的关系是( ) (A)异面直线 (B)平行直线 (C)垂直但不相交 (D)垂直相交 4．空间中有四点，其中，，且 ，则直线和( ) (A)平行 (B)平行或重合 (C)必定相交 (D)必定垂直 5．设是平面外一点，点满足，则直线与平面的位置关系是　　　　　　　　　　　。 6．已知矩形中，平面，且，若在边上存在一点，使得，则的取值范围是　　　　　　　　　。 [典例精析] 例1．已知是正三棱柱，是的中点，求证：平面 ［剖析］证明线面平行问题，可以有以下三种方法：(1)利用线面平行的判断定理，转化为线线平行问题；(2)向量与两个不共线的向量共面的充要条件是存在实数对，使得，利用共面向量基定理可以证明线面平行问题；(3)设为平面的法向量，要证明直线平面，只需要证明即可。 ［解］证法一：建立如图所示的空间直角坐标系，设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为， 则 从而 设平面的法向量，由，得 取，得，由，得，即平面. 证法二：如图所示，记， 则， ，共面， 平面， 平面 ［警示］利用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直关系问题，主要运用了直线的方向向量与平面的法向量的，同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理。另外，利用向量知识解题，一般不需要添加辅助线，只是利用向量运算及向量基本定理，把要证明的直线或平面用该平面内的向量表示即可。 ［变式训练］ 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为，分别是和上的点，，求证：平面. 例2．(2006年山东高密调研)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F 分别是AB、PB的中点. （Ⅰ