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第二章 曲面论 凸曲面 本节讨论的对象是由显式方程表示的曲面。 一、凸曲面的概念 设是凸区域，是在上有定义的函数， 若是上凸函数， 则称曲面 是凸曲面。 凸曲面的例子 证明：锥面在上为凸曲面. 证明：设，， 对任意，，， 成立 ， 于是成立 ， 即得是凸函数， 曲面是上的凸曲面. 例2、设一元函数在上是递增的，又是凸的，求证：旋转曲面在上是凸曲面. 证明：设，， 对任意，，， 成立 ， 由于是递增的，又是凸的，于是，成立 ， 即是凸函数， 曲面是上的凸曲面. 凸曲面的判定法 设，。 定义， 。 命题 在上是凸函数当且仅当对任意， 在上是凸函数。 证明 必要性 设在上是凸函数。 对任意， 成立。 于是 ， 即得在上是凸函数； 充分性 对任意， 是凸的， 由此，得 ， 即得在上是凸函数。 设， ， 显然，若， 则 。 记， 则有 ， 为函数在点处的海森矩阵。 我们知道，对 ， 则在上是凸函数的充分必要条件是，。 定理 设 在上是凸函数当且仅当对任意， ， 有，。 引理 对称方阵，，是半正定的， 必须而且只需 ， 并且 . 证明：因为对称方阵是半正定的，指的是：对任意，成立 ； 在上式中分别取 ， 就得； 不访设 注意到 ， 由此即得证. 容易知道，， 当且仅当是半正的。 利用引理，我们立刻得到 定理 设凸区域， ， 于是在上是凸函数当且仅当是对一切，是半正的方阵； 也就是说 对一切成立。 例3 设 ， 求证：下半球面 ， 是凸曲面。 证明 由于 ， 所以， ， ， 由此可得 ， 根据定理的结果，可知下半球面是凸曲面。 讨论曲面， 其中为常数.求此曲面在上为凸曲面的必要充分条件. 提示：二次连续可微，设，是凸的当且仅当：对任意，，一元函数是凸的，这等价于，由此出法可证得结论. 例5、在上定义曲面 ， 其中，，，和，，均为常数.设 ，，， 求证：该曲面在上是凸曲面. 例6、设是一个凸区域，函数二阶连续可导，求证：在上为凸函数的必要充分条件是，曲面上的每一张切平面都不在曲面的上方. 例7、 设是凸区域，函数是上的凸函数，证明或否定：是上连续.注：函数为凸函数的定义是任意，以及成立. 证明 结论是在上连续， 我们分两步证明结论， 对于以及上的一元凸函数，容易验证 任意，成立 ， 从而 ，， 由此即得在处连续， 一般地，可得开区间上的一元凸函数连续. ，则有，使得， 注意到固定或时，作为一元函数都是凸函数， 由（1）的结论，，，都是上的连续函数，从而他们有界，于是存在常数，使得 ，， 进一步，由（1）的结论， ， 由此，即得在点处连续， 故在上连续. 类似于证凸函数是局部Lipschitz连续的证明过程。 题名 凸曲面的内蕴几何学 作者 (苏)亚历山大洛夫著 吴祖基译 出版地 北京 出版社 科学出版社 出版时间 1962.06 页数 620 开本 32 中图分类号 51.561 太极弓-凸曲面与凹曲面 13