第五次习题课资料.docVIP

曲线曲面积分 内容包括: 第一型曲线曲面积分，Green公式， Gauss公式， Stokes公式，积分与路径无关问题。 曲线积分 例1．求, 其中是正方形. 解:设, 解答完毕。 例2：设为椭圆, 其周长记为。 求 解法一： 椭圆的方程可写成 。于是 由对称性, , 故. 解法二：椭圆：写作参数式，，。于是所求第一型曲线积分为 。而 . 因此原积分为。 解答完毕。 例3：计算，其中是 (1)，顺时针方向． (2)，顺时针方向． (3)设为从到的有向线段，计算． 解：(1)令则 ．格林公式 ． (2)以为中心、充分小的正数为半径作圆周，逆时针方向．使得该圆周被包含在之内． 格林公式． (3) 在（1）的解答中，已经证明了第二型曲线积分 在右半平面上积分与路径无关。因此从到的有向线段到的直线段，并上 点到的直线段。于是所求积分为 ．在上连续，在内存在连续偏导数．．进一步假设在单位圆上满足方程 ，求极限 ，这里其中为圆周的单位外法向量。 解：注意线积分为第一型，且方向导数可以写作．利用格林公式第二种形式（散度形式）得 。 对上式最后的二重积分应用中值定理得 ，其中点。于是 。 解答完毕。 例5： 设在全平面上连续可微,第二型曲线积分与路径无关,并且对于任意的,有.求函数. 解: 根据条件得到，因此，其中函数待定。 由假设关系式成立.不难算出两边的积分 ， 。 因此 . 于上式两边关于求导数得。 于是. 解答完毕。 例6： 已知积分与路径无关，为可微函数,且。 (1) 求。 (2) 对(1)中得到的,求势函数，使得。 (3) 对(1)中得到的,求题目中的线积分,其中积分路径为从到的任意路径. 解:(1) 根据积分与路径无关的条件得，即 ，。 这是关于未知函数的一阶线性微分方程. 其通解为。由初始条件 可确定。于是. (2) 解法一: 由 可知 ，。根据可知函数具有形式 , 函数待定。再根据得 。由此可得 。从而 ，其中为任意常数。 解法二：未知函数可表为 。犹豫积分与路径无关，故函数可表为 。 (3)解法一: 由于积分与路径无关,故可取积分路径为从到的两条与坐标轴平行的直线段。于是所考虑的积分 解法二: 。解答完毕。 例7： 计算积分, 积分路径为任一条不与y轴相交的曲线。 解：记平面向量场， 则 。因此积分与路径无关。对微分形式 作如下改写 = ==。 于是所求积分为 =。 解答完毕。 例8： 设为闭曲线 ，正向为逆时针。则（A）。 (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 解: 由得到 。解答完毕。 例9： 设函数在上半平面内具有连续偏导数,且对任意的和对任意点，都有。证明对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有。 解：在等式两边关于t求导得 ，，。 令得 。该等式意味着平面向量场无旋,即 。 因此。证毕。 二．曲面积分 例1： 计算．其中是锥体的边界． 解：和为锥体的侧面和上底面，则 在上，） 在上，）． ， ．．计算的均匀半球面关于轴的转动惯量． 解：对于该曲面上任意一点出的面积微元，其质量等于关于轴的转动惯量为．球面的面积微元．于是整个曲面的转动惯量为 , 其中为单位球面. 解: 其中是球的表面积. 由对称性可知, ,故。解答完毕。 例4： 计算螺旋面：，，（）的面积。 解： 。解答完毕。 例5：求圆柱面被抛物柱面及平面所截部分的侧面积。 解法一：（第一类曲线积分） 侧面积 , 其中为空间曲线在平面上的投影，即平面上的园：。其参数方程为，，，它的弧长微分。 于是。 解法二：（第一类曲面积分）所截部分关于平面对称，即点当且仅当。位于部分的曲面方程为，，其中。于是所求面积为 。解答完毕。 例6： 令封闭曲面在球坐标下方程为，是围成的有界区域，分别计算在直角坐标系下的形心坐标。 解：　回忆：第四次习题课有一道例题，涉及计算立体直角坐标系下的形心坐标。现在我们要求在直角坐标系下的形心坐标。为了对封闭曲面加深了解，我们写出该曲面的直角坐标方程。由这个方程可以看出具有对称性：若点，则，，。我们先求的面积。有参数方程： ， ， ， ：，。分别计算Gauss系数 E,G,F（有些麻烦）,我们有 。于是 。 关于平面的静力矩 。 因此曲面形心的坐标为。 根据出的对称性，可知关于坐标平面，以及平面的静力矩为零。因此 的形心坐标为 。解答完毕。 例7： 计算第一型曲面积分,以及第二型曲面积分, 其中曲面为球面：；定向曲面的外法向规定为曲面的正向.