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第八次习题课讨论题参考解答 5月21日和22日 本次习题课主要讨论线积分和面积分的计算，以及Green定理的应用。 一． 曲线积分 1．计算, 其中是正方形. 解: 设, 解答完毕。注：如果经验丰富的话，一眼看出积分为零(根据对称性). 2．设为椭圆, 其周长记为。 求 解法一： 椭圆的方程可写成 。于是 由对称性, , 故. 解法二：椭圆：写作参数式，，。于是所求第一型曲线积分为 。而 . 因此原积分为。 解答完毕。 3．计算第二型曲线积分 ，其中是 (1)，顺时针定向． (2)，顺时针定向． (3)从到的有向线段． 解：记，，则，即向量场无旋。 （1） 设是椭圆，顺时针为正方向．由于向量场在椭圆盘 上连续可微，根据Green 公式得 ． （2） 设是闭曲线，顺时针定向．我们取正数充分小，使得圆周 包含在之内， 并规定逆时针为正向．计算上的积分比较容易： 。 而由格林公式可知 ． （3）在（1）的解答中，已经证明了场无旋， 从而场在右半平面上保守，即线积分 在右半平面上积分与路径无关。因此可取积分路径为两个直线段：点到点的直线段，以及点到点的直线段。于是所求积分为 ．解答完毕。 4．设在内有连续的偏导数，且满足方程。进一步假设．求极限， 这里为圆周的单位外法向量，。 解：注意方向导数可写作．于是利用格林公式的散度形式得 。 对上式最后的二重积分应用中值定理得 ，其中点。于是 。 解答完毕。 5． 设函数在上半平面内具有连续偏导数,且对任意的，对任 意点，都有（此即是次齐次函数）。证明对内 的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有。 解：在等式两边关于t求导得 ，，。 令得 （此即齐次函数的Euler公式）。 这个等式意味着平面向量场无旋, 即 。 再注意域为单连通的。因此场在域 上的任何闭路径积分为零。故。证毕。 6. 计算积分 ， 其中 为球面片，的边界曲线，方向是从点 到点，到点，再回到。（课本习题4.4题3 （4），page 192） 解：如图 ，利用球坐标参数可以写成 ，（参数增为正）， ，（参数减为正）， ，（参数增为正）， （注意在上） 由x-y-z循环对称，原式=. 解答完毕。 7. 设为闭曲线：，逆时针为正向。 计算。 解：利用，， 再将曲线分成4段直线段， ，，x减少为正向； ，，x减少为正向； ，，x增加为正向； ，，x增加为正向； ， ， ， ， 综上，原式． 注：利用Green公式，后面一段关于曲线积分的计算可以大大简化： 记围成的区域为，则利用和Green公式，得 。 解答完毕。 二．曲面积分 1． 计算．其中是锥体的边界． 解：分别记和为锥体的侧面和上底面，则 在上，（） 在上，（）．于是 ， ． 于是所求面积分为 ．解答完毕。 2．求, 其中为单位球面. 解: 其中是球的表面积. 由对称性可知,,故。 解答完毕。 3．计算螺旋面：，，（）的面积。 解： 。解答完毕。 4．求圆柱面被抛物柱面及平面所截部分的侧面积。 解法一：（利用第一类曲线积分的几何意义） 侧面积 , 其中为空间曲线在平面上的投影，即平面上的园：。其参数方程为，，，它的弧长微分。 于是。 解法二：（第一类曲面积分）由于所截部分关于平面对称，即点当且仅当。位于部分的曲面方程为，，其中。于是所求面积为 。解答完毕。 5．计算第一型曲面积分,以及第二型曲面积分, 其中曲面为球面；定向曲面的正法向向外。 解：分别记，为的上半球面和下半球面，它们的方程为 ：， ：， 考虑第一型曲面积分。根据被积函数和球面的对称性，我们有。因此。 对于上半球面， 面积元素。于是 = =。 考虑第二型曲面积分。 。注意到 ，以及 ，故 。 解答完毕。 6． 记为锥面被柱面所截的有限部分。规定曲面的正向 向下，所得的定向曲面记为。求下面两个积分的值。 (i) 。 (ii) . 解：(i) 简单计算知锥面的面积元素为。因此 (ii) 不难计算曲面的单位正法向量为。于是根据第二 曲面积分的定义有 解答完毕。 7. 设一元函数于整个实轴上连续，代表单位球面 。证明Poisson公式 ，这里。（课本习题4.3第11题，page 187）。 为了证明Poisson公式，我们需要先建立一个Lemma。 Lemma：设是一个正则的参数曲面。记是在一个正交变换（正交矩阵）下的象， 即。记，，则对任何上连续函数，我们有。（这个Lemma大致的意思是说，曲面的面积元素关于正交变换是不变的。） 证明：由假设有正