第八章傅立叶变换.docVIP

傅立叶变换 §1. 傅立叶变换的概念 傅立叶级数 定理1 设是以T为周期的实函数,且在上满足狄利克雷条件,即: 连续或至多有有限多个第一类间断点, 只有有限多个极值点. 则在的连续点处有 其中 称上式为傅立叶级数的三角形式. 设 则有 其中 称上式为傅立叶级数的复指数形式. 称为周期函数的离散频谱，称为离散振幅谱，称为离散相位谱. 求以T为周期的函数 的离散频谱和它的傅立叶级数的复指数形式. 傅立叶积分与傅立叶变换 傅立叶积分公式 定理2 (傅立叶积分定理) 如果实值函数f(t)在区间上的任意一个有限区间上满足狄利克雷定理的条件,且在区间上绝对可积,则有 在连续点处成立,在间断点处,等式左侧为 称上式为傅立叶积分公式. 傅立叶积分变换 在傅立叶积分公式中,令: , 则有 定义： 称式为傅立叶变换,称为的像函数,记作 =F 称式为傅立叶逆变换, 称为的像原函数,记作 = F . 例2. 求矩形脉冲函数 的傅立叶变换及傅立叶积分表达式. 例3. 已知的频谱为 求. 例4. 求单边指数衰减函数 的傅立叶变换，并画出频谱图. 设F ,证明：若为奇函数,则也是奇函数.(即: ) §2. 单位脉冲函数（函数） 单位脉冲函数的概念及性质 若函数满足条件: 当时, ; . 则称为单位脉冲函数. 性质1 设为定义在R上的有界函数,且在处连续,则 一般地,若在处连续,则有 性质2 函数为偶函数,即 性质3 设为单位阶跃函数,即 则有 例6. 给出函数 的图形表示，其中 例7. 分别求函数与的傅立 叶变换. 例8. 试证单位阶跃函数u(t)的傅立叶变换为 例9. 求的傅立叶变换. 定理3 设是以T为周期的实值函数，且在 上满足狄利克雷条件,则和 是一组傅立叶 变换对。其中是的离散 频谱。 §3. 傅立叶变换的性质 基本性质 1. 线性性质 设F ,F , 为常数,则 F , F . 2. 位移性质 设F ,为实常数,则 F , F . 问题：该性质还有什么形式？ 例10. 已知 求F . 3. 相似性质 设F ,a为非零常数,则 F . 例11. 已知抽样信号的频谱为 求信号的频谱 4. 微分性质 (1) 导数的像函数 若 则 F F , 一般地, 若 则 F F . (2) 像函数的导数 F F 一般地有, F . 在实际使用时，经常使用的是该公式的另一种形式： F 例如： 求F 5.积分性质 设,若则 F F . 6.帕塞瓦尔等式 设F ,则有 . 例12. 求积分的值. 卷积与卷积定理 1. 卷积 定义： 设与内有定义.若广义积分对任意实数t均收敛,则该积分定义了一个以t为自变量的实函数,称此函数为与的卷积,记作.即 . 卷积性质 例13. 求下列函数的卷积 其中 例14. 求下列函数的卷积 2. 卷积定理 定理 设F ,F ,则有 F , F . 例15. 求下列函数的卷积 例16. 设求F [f(t)]. 三. 综合举例 例17. 设是以周期为T的实值函数,且 在[]上满足狄利克雷条件，证明 其中为的离散频谱. 例18. 设是定义在上的实值函 数,且存在傅立叶变换=F [f(t)], 证明 . 例19. 试证明 例20. 已知求f(t)= 的傅立叶变换.