第次 复习 微积分 向量代数 平面和直线 预备知识 向量分析.docVIP

复习微积分 导数公式 (是常数), , , , (, ), , (, ), . , , , , , , , . 复合函数的导数公式 , . 微分公式 , . 牛顿-莱布尼兹公式 若是的一个原函数, 则 . 复习向量代数 向量 自由向量 模, 单位向量, 零向量 相等的向量： 的逆向量 半径向量 向量的和 三角形法则 平行四边形法则 运算律 (1) 交换律: ; (2) 结合律: ; (3) ; (4) . 注意向量减法与向量加法的三角形法则的区别 向量减法 向量加法的三角形法则 数乘向量 当时, . 当时：若, 则与同向; 若, 则与反向; 若, 则. 运算律 (1) ; (2) 结合律: ; (3) 分配律: ; (4) 分配律: . 基向量, , 向量的坐标: . 若, , 则 , 内积. . , . 运算律 , , . 内积的计算 若, , 则 , , . 两点和的距离 . . 向量的方向角、和以及的方向余弦、和 是与同方向的单位向量. 于是, , . 的方向余弦为 , , , 且 . 矢积是一个向量, 它与和都垂直, 且、和构成右手系. 又 . 的几何意义: 以和为邻边的平行四边形的面积. 的面积. , . 运算律 (1)反交换律: ; (2); (3)左分配律:; ； (4)右分配律: . 注 叉乘不满足结合律. 外积的计算 若, , 则 . 混合积. 的符号的几何意义: （）时, 、和成右（左）手系. 的几何意义: 是以、和为棱的平行六面体的体积. 四面体的体积. 、和共面. 混合积的性质 (1). (2). (3), , . (4). (5)三矢矢积公式 (6) (Lagrange恒等式). 混合积的计算 若, , , 则 . 复习平面和直线 平面 1.向量式方程 (1):向量形式的点法式, 其中为平面的法向量; (2):向量形式的一般式, 其中为平面的法向量; (3)(和为平面上的线性无关的向量): 向量形式的参数式, 其中和为位置向量; (4):向量形式的点位式(和为平面上的线性无关的向量), 其中和为位置向量; (5)(、和为平面上的不共线三点的半径向量):向量形式的三点式; (6)(为平面的单位法向量, 为原点到平面的距离): 向量形式的法线式. 2.坐标式方程 (1):坐标形式的点法式; (2)、和不全为:坐标形式的一般式. 特例 :过原点; ():平行于轴; ():平行于平面(即与轴垂直); :过轴; :平面. (3)(和为参数):坐标形式的参数式; (4):坐标形式的点位式； (5):坐标形式的三点式(是平面上的不共线的三点; (6):坐标形式的法线式; (7):截距式. 直线 1.直线的向量式方程 (1):向量形式的点向式; (2):向量形式的参数式; (3):向量形式的一般式, 其方向向量是. 2.直线的坐标式方程 (1):坐标形式的标准式(对称式); (2):坐标形式的参数式; (3):坐标形式的一般式, 其方向向量; (4):坐标形式的射影式. 3.直线与直线的位置关系 (A) 定理 直线和 (1)异面 (2)共面 (3)相交 (4)平行 (5)重合 (B)两直线和的夹角即方向向量和之夹角: . 球面方程: . 球心: , 球半径: . 空间的圆的方程: 预备知识 向量分析 §1.1 向量函数的极限与连续性 设在欧氏空间中给定一个点集. 若对于的每一点，都有一个确定的向量与之对应，则称在上定义了一个向量函数，记作 , . 例 设. 则得一个一元向量函数 , ； 设是平面上的一个区域，. 则得一个二元向量函数 , ； 设是空间中的一个区域，. 则得一个三元向量函数 , . 定义 设是给定的一元向量函数，是常向量，若对任意给定的，存在，使得当时，, 则称当时，向量函数趋于极限. 记作 或 定理1.1.1 设和是两个一元向量函数，是一个实变量实值函数，并且当时，，，, 则 (1)；(2)；(3);(4). 定义 设给定一元向量函数. 若， 则称向量函数在点连续. 若在开区间内的每一点连续, 则称在开区间内连续. 又若在右连续, 在左连续, 则