第章 数列与级数最终版.docVIP

第3章 数列与级数 这章的标题说明，这里要初步地讨论复数的序列和级数．然而关于收敛性的基本事实，即使在更一般的情况下阐述，也同样地容易．所以前三节就在欧几里得空间，甚至在度量空间里讲了． 收敛序列 3.1 定义度量空间中的序列叫做收敛的，如果有一个有下述性质的点：对于每个，有个正整数，使的时，（这里表示中的距离）． 这时候，我们也说收敛于，或者说是的极限[参看定理3．2(b)]，并且写作，或 如果不收敛，便说它发散． 这“收敛序列”的定义不仅依赖于，而且依赖于，指明这一点很有好处;例如，序列在里收敛（于0），而在一切正实数的集里（取）不收敛．在可能发生怀疑的时候，我们宁愿明确而详细地说“在X中收敛”而不说“收敛”． 我们记得，一切点的集是的值域，序列的值域可以是有限的，也可以是无限的．如果它的值域是有界的，就说序列是有界的． 作为例题，我们来审辨一下下边的复数序列（即）． (a)如果，那么;值域是无限的，但是序列是有界的． (b)如果，那么序列无界，发散，而值域是无限的． (c)如果，那么序列收敛于1，有界而且值域是无限的． (d)如果，那么序列发散，有界，而值域是有限的． (e)如果（n=1，2，3，…）那么收敛于1，有界而且值域是有限的． 现在，把度量空间中收敛序列的一些重要性质汇集起来． 3.2 定理设是度量空间中的序列 (a)收敛于，当且仅当点的每个邻域，能包含的，除有限项以外的一切项． (b)如果，，收敛于又收敛于，那么． (c)如果收敛，必有界． (d)如果，而是的极限点，那么在中有一个序列，使得． (a) 证 假定，并设是点的邻域，对于某个，条件，意味着．对应于这个，存在着时有．所以就得出． 反过来，假定点的每个邻域，除有限个点外，包含一切点．固定，并设是满足的的集．根据假定，(对应于这个邻域)存在一个，使得时，所以时，;这就是说． (b) 设已给定，那么存在正整数，使当 有， 有． 因此，如果，就有 ． 由于数是任意的，可以断定． (c)假定．那么存在着正整数，使得当有．令，那么，当时，．(d)对于每个正整数，有点，使．给定了，选取，使得，就得．因此．证毕． 对于中的序列，我们可以研究收敛性与代数运算之间的关系．首先考虑复数序列． 3.3 定理 假定是复数序列，而且，．那么 (a) ; (b)对于任何数，，; (c) ; (d)只要且，就有证(a)给定了0，存在着正整数使得 时，， 时，． 如果，那么时，便有 ． 这就证明了(a)．至于(b)的证明则很容易． (c)我们用恒等式 ． (1) 给定了，存在着正整数，使得 时，， 时，． 如果取，那么时就有 由此 ． 现把(a)和(b)用于恒等式(1)，就可以判定 (d)选一个，使当时，，就知道 给定了，就存在正整数，，使得时 ． 因此，当时， ． 3.4 定理 (a)假定而 ． 那么序列收敛于（，当且仅当 ． (2) (b)假定，是中的序列，是实数序列，并且，，．那么 ，，． 证 (a)如果，那么，从中范数的定义马上可以推得不等式 ， 这说明等式(2)成立． 反之，如果(2)成立，对应于每个，有一个正整数，使得时， （）． 因此，时 ， 所以．这就证明了(a)． (a)可以由(a)和定理33推出来． 子序列 3.5定义 设有序列，取正整数序列，使，那么序列收敛，就把它的极限叫做的部分极限． 显然，序列收敛于，当且仅当它的任何子序列，收敛到中的某个点． (b)中的每个有界序列含有收敛的子序列． 证 (a)设是的值域．如果有限，那么必有及序列（）使得： ． 显然，这样得到的子序列收敛于． 如果是无限的，定理237说明的极限点．选取使得．选定以后，据定理220知道一定有正整数，使得．于是子序列收敛于． (a)这由(a)即可得到．因为定理241说明的每个有界子集必含于的一个紧子集中． 定理度量空间里的序列的部分极限组成X的闭子集． 证 设是的所有部分极限组成的集，是的极限点．现在需要证明q． 选，使（如果没有这样的，那么只有一个点，那就没有什么要证的了）．令．假设已经选好了，因为是的极限点，必有，使．因，必有，使得．于是对于 这就是说收敛于．因此． Cauchy序列 定义 度量空间中的序列叫做cauchy序列，如果对于任何存在着正整数，只要和便有． 在Cauchy序列的讨论中，以及在今后出现的其他情况下，下述几何概念是有用的． 定义设是度量空间的子集，又设是一切形式为的实数的集，这里，．数叫做的直径，记作． 如果是中的序列，而由点，，，…组成．那么，从上边的两个定义来看，显然可以说：是Cauchy序列，当且仅当 ． 定理 (a)如果是度量空间中的集，是的闭包，那么 ． (b)如果是中的紧集