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第十八章 曲线积分和曲面积分 §1 第一类曲线积分 一、定义 背景：在计算曲线段上的质量分布问题时，我们曾把曲线段上的质量转化为如下一个有限和的极限，这个有限和的极限正是本节要介绍的第一类曲线积分，先给出数学定义。 给定光滑曲线段，定义在上且连续，给定的一个分割： T： 这里“”表示曲线上从A到B的顺序。记（弧长），（分割细度）。 定义1、设存在实数I，使对任意的，存在，使对任意分割，当时， 对任意的，都成立： ， 称I为在上的第一类曲线积分，记为。 其中称为被积函数，l称为积分路径。 注、显然，定义表明 。 注、有时用l表示弧长，因而，第一类曲线积分也记为。不论如何记第一类曲线积分，必须注意到第一类曲线积分是对弧长的积分。 注、其几何意义为：时，，（的弧长）。 注、第一类曲线积分满足类似的积分性质（略）。 二、计算 从定义式可知，计算的本质问题在于对的处理，下面，就以此为出发点导出其计算公式。 先给出参数方程下的计算公式。 设给定曲线段：是的，即。首先由定积分理论中弧长公式可知，对应于某一参数段如的弧长可由如下定积分计算 事实上，利用定积分思想，弧长公式的推导过程大致如下 利用这一弧长公式可以得到第一类曲线积分的计算公式。 定理1、设在上连续，则存在且 。 证明：对做任意分割 T： 对应于形成一个分割 记， 则由定义， = = 其中，使得。 利用弧长公式和中值定理，则 ，。 故， = = 其中： 。 由三角不等式， 由于，因而一致连续，故，对 当时， ， 又，，因而有界M，故： 。 因而，由定积分定义， = 故， 。 对一般的曲线方程，都可以转化为参数方程形式，因此，定理1解决了第一类曲线积分的计算问题。下面给出几个特例。 注：特例： 对平面曲线：，则 ； 对平面曲线：，则 从计算公式知，第一类曲线积分的计算，关键是给出曲线的参数方程。 例1：，： 解：采用极坐标形式，则 ， 故，。 例2：其中l由折线段OA、AB、BO组成且O(0,0)、A(1,0)、B(1,1). 解：利用积分可加性，则 其中各段方程如下： ，；（可视为以为参数） ，（以为参数） BO：，（以为参数） 故,。 注意各种技巧的运用，如对等性对称性等。 例3：，。 解：由于曲线关于对等，则，。 因而，。 例4：，（闭曲线上的积分） 解、由于关于轴对称，且是的奇函数，故， 。 事实上，分为：，故： ＝0。 §2 第一类曲面积分 定义 背景：在计算曲面上质量分布时，我们曾导出质量分布的计算公式为有限和的极 ，在其它应用领域，也经常遇到这类有限和的极限，因此，有必要在数学上建立相应的理论，这就是第一类曲面积分。 给定有界光滑曲面，定义在上，给定曲面的一个分割T：，对应 的每一个分割子块的面积记为，分割细度仍记为。 定义1、若存在实数I，使对任意分割T及任意选取的点，都有 称I为在上的第一类曲面积分，记为 其中为被积函数，称为积分曲面。 注、类似的积分性质（略）； 注、几何意义为，时，。 计算 从第一类曲线积分的公式推导可知，第一类曲面积 分公式的建立，关健仍然是微小曲面的面积的计算。因此，我们首先处理，给出其计算公式；处理的思想为定积分中的近似方法――微元法。 我们知道，是分割后的小曲面块，当分割很细时，曲面块可近似为平面块，故，我们从分析平面块面积的计算入手。那么，如何计算平面块的面积？我们仅知道：当平面块落在坐标平面内时，可以利用二重积分计算其面积，此时，问题解决。而当平面块不落在坐标平面时，我们利用投影技术转化为坐标平面内平面块面积的计算。这就是我们处理第一类曲面积分的思想。 1、曲面面积的计算： 给定有界曲面 ：，设是光滑的，即，求的面积。 情形1、特殊情形 设落在平面中，又设与坐标面面的夹角为（锐角），在面的投影区域为D，相应的面积分别记为，则，故。 当选取相对应的钝角为夹角时，有。 情形2、一般情形 为一般光滑曲面：，显然：D正是在面的投影区域。 为了利用情形1处理，我们利用分割、近似计算的思想。 对曲面进行分割T：，分割细度为；对应于分割T，形成D的一个分割：： ，分割细度记为。 当T很细时，我们希望用某种平面块代替曲面块。在曲面上，选择一个什么样的平面块来近似代替曲面块？我们选择相关的切平面块。任取，由于是光滑的，故任一点都有切平面，过作平面，在上取出一小平面块，使与具有相同的投影，当T很细时，。 下面计算。由情形1，只计算与坐标面的夹角的余弦。这使我们联想到切平面法线的方向余弦，记为的法线方向与轴正向的夹角，则。 由解析几何理论知