第章 第节 正弦定理和余弦定理.docVIP

第一讲　正弦定理和余弦定理 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R. (R为ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bc·cos_A b2＝c2＋a2－2ca·cos_B c2＝a2＋b2－2ab·cos_C． 变形形式 (1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； (2)ab∶c＝sin_Asin_B∶sin_C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝. cos A＝ cos B＝ cos C＝. 解决问题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角. (1)已知三边，求各角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 2.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在ABC中，A∠B必有sin Asin B．(　　) (2)在ABC中的六个量中，若已知三个量，则可求另外三个量(　　) (3)ABC中，若b2＋c2a2，则ABC为锐角三角形(　　) (4)在ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝45°或B＝135°(　　) 【解析】　(1)中，sin Asin Bab?∠A∠B，(1)正确． 在(2)中，已知三个量中至少有一个边，才可求另外三个量，(2)错． 在(3)中，A为锐角，ABC不一定是锐角三角形．(3)不正确． 在(4)中，abB∠A，则B＝45°，(4)不正确． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(人教A版教材习题改编)已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝(　　) A．2 B．4＋2 C．4－2 D.－ 【解析】　在ABC中，易知B＝30°， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos 30°＝4.b＝2. 【答案】　A 3．(2014·佛山质检)在ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　) A．4 B．2 C. D. 【解析】　在ABC中，根据正弦定理，得＝， AC＝＝＝2. 【答案】　B 4．(2013·陕西高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【解析】　由正弦定理，及bcos C＋ccos B＝asin A，得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A， sin A＝1，得A＝(由于0＜A＜π)， 故ABC是直角三角形． 【答案】　A 5．(2013·合肥高三第二次质检)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝，3a＝2c＝6，则b的值为(　　) A. B. C.－1 D．1＋ 【解析】　因为3a＝2c＝6，所以a＝2，c＝3，由余弦定理知cos C＝，即cos ＝＝＝，得b＝1＋. 【答案】　D 考向1　利用正弦、余弦定理解三角形 【例1】　(2013·山东高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 【思路点拨】　(1)由余弦定理，得关于a，c的方程，与a＋c＝6联立求解；(2)依据正弦定理求sin A，进而求cos A，sin B，利用两角差的正弦公式求值． 【尝试解答】　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)， 又b＝2，a＋c＝6，cos B＝， 所以ac＝9，解得a＝3，c＝3. (2)在ABC中，sin B＝＝， 由正弦定理得sin A＝＝. 因为a＝c，所以A为锐角． 所以cos A＝＝. 因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.,规律方法1　1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的． 2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用． (2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用． 变式训练1　在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a