第章 解三角形 § 正弦定理和余弦定理 余弦定理(一).docVIP

1．1.2　余弦定理(一) 对点讲练一、已知三角形两边及夹角解三角形 例1　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A. 解　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4，所以c＝－， 由正弦定理得sin A＝＝，因为ba，所以BA，又∵0°A180°，∴A＝30°. 总结　解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手． 变式训练1　在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c. 解　由题意：a＋b＝5，ab＝2. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19. ∴c＝. 二、已知三角形三边解三角形 例2　已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角． 解　∵ca，cb，∴角C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即37＝9＋16－24cos C，∴cos C＝－，∵0°C180°，∴C＝120°. 所以△ABC的最大内角为120°. 总结　已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角． 变式训练2　在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长． 解　由条件知：cos A＝＝＝，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝2＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，即x＝7. 所以，AC边上的中线长为7. 三、利用余弦定理判断三角形形状 例3　在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状． 解　∵a2[sin(A－B)－sin(A＋B)] ＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A， 由正、余弦定理，即得 a2b＝b2a， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0， ∴a＝b或c2＝a2＋b2， ∴该三角形为等腰三角形或直角三角形． 变式训练3　在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，试判断三角形的形状． 解　因为a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4， 所以可令a＝2k，b＝3k，c＝4k(k0)． c最大，cos C＝0， 所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形． 1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角． 课时作业一、选择题 1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A.　　　　　　　B.　　　　　　　C.　　　　　　　D. 答案　B 解析　∵abc，∴C为最小角， 由余弦定理cos C＝＝＝.∴C＝. 2．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于(　　) A．1 B. C．2 D．4 答案　C 解析　bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2. 3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，∴cos B＝＝＝. 4．在△ABC中，sin2＝ (a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 答案　B 解析　∵sin2＝＝，∴cos A＝＝a2＋b2＝c2，符合勾股定理． 5．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为(　　) A．135° B．45° C．60° D．120° 答案　B 解析　∵S＝(a2＋b2－c2)＝absin C ∴a2＋b2－c2＝2absin C，∴c2＝a2＋b2－2absin C. 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，∴sin C＝cos C，∴C＝45° . 二、填空题 6．三角形三边长分别为a，b， (a0，b0)，则最大角为________． 答案　120° 解析　易知：a，b，设最大角为θ， 则cos θ＝