第章 解三角形 § 正弦定理和余弦定理 余弦定理(二).docVIP

1．1.2　余弦定理(二) 对点讲练 一、利用正、余弦定理证明三角恒等式 例1　在△ABC中，求证：＝. 分析　左边为角，且为正切函数，所以先切化弦，再利用正、余弦定理化为边；也可将右边的关系通过变形转化为角的关系，再运用余弦定理、正弦定理变形化为角，从而解决问题． 证明　方法一　左边＝＝＝·＝＝右边， 所以＝. 方法二　右边＝＝ ＝·＝·＝＝左边， 所以＝. 总结　证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左?右；右?左或左?中?右三种． ?变式训练1　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边． 求证：＝. 证明　方法一　左边＝＝ 右边＝＝ ∴等式成立． 方法二　右边＝ ＝＝＝左边 ∴等式成立． 二、利用正、余弦定理判断三角形形状 例2　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状． 解　方法一　根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B. ∵B＝60°，2b＝a＋c，∴2＝a2＋c2－2accos 60°， 整理得(a－c)2＝0，∴a＝c. ∴△ABC是正三角形． 方法二　根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C. 又∵B＝60°，∴A＋C＝120°. ∴C＝120°－A，∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)， 整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°. ∴△ABC是正三角形． 总结　题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断． ?变式训练2　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状． 解　由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc， 即a2＝b2＋c2－bc，∴cos A＝＝＝，∴A＝. 又sin A＝2sin Bcos C．∴a＝2b·＝， ∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形． 三、利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题 例3. 在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边， ,且 (1)求△ABC的面积； (2)若a＝7，求角C. 解（1）∵ ∴ ∴ =| |·| |·cosB=accosB=21. ∴ac＝35，∵cos B＝，∴sin B＝.∴S△ABC＝acsin B＝×35×＝14. (2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝32， ∴b＝4.由正弦定理：＝.∴sin C＝sin B＝×＝. ∵cb且B为锐角，∴C一定是锐角．∴C＝45°. 总结　这是一道向量，正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系． ?变式训练3　△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cos B＝. 求＋的值； 设，求a+c的值. 解　(1)由cos B＝，得sin B＝ ＝. 由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sin Asin C. 于是＋＝＋＝＝ ＝＝＝. (2)由 得ca·cos B＝，由cos B＝，可得ca＝2，即b2＝2. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，得a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5， ∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3. 课堂小结： 1．解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表： 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角 (如a，B，C) 正弦定理 由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解． 两边和夹角 (如a，b，C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解． 三边 (a，b，c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C. 在有解时只有一解． 两边和其中一边 的对角如(a，b，A) 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解. 2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 课时作业 一、选择题 1．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等