第章级数理论.docVIP

级数理论 引言 一、级数理论的主要研究内容 级数理论是研究级数----无穷个数的和（数项级数）或无穷个函数的和（函数项级数）的理论，主要建立这样无穷个和在什么条件下有意义----收敛性和相应的判别法则、和具有什么样的性质。 二、级数理论的地位和作用 级数理论是数学分析的一个重要的组成部分，他从离散的角度研究函数关系，是分析学的基础知识和研究工具，在其他各分支、特别是在现代数学各领域中有着极为重要的作用，特别是由此发展起来的Fourier级数理论和进一步的小波分析理论在工程技术领域如信号识别、图像处理等领域中是一个有力而又有效的快速计算和数值模拟工具。 三、级数的发展史 1、早期的工作 数学史上，级数的出现比较早。微积分产生之前就已经有级数形式了，最早出现的是公比小于1的几何级数。古希腊时期，Aristotle在计算抛物弓形面积时，实际上计算出了公比为的无穷级数的和。14世纪，法国Oresme证明：调和级数发散，初步有了级数的收敛和发散思想，区别收敛和发散的级数。但是直到微积分发明时代，人们才把级数作为独立的概念，把级数运算作为一种算术运算并正式使用级数的收敛和发散两个术语。事实上，正是微积分的创立，为级数的运用提供了活动空间，为级数理论的建立提供了基本素材。如Newton研究级数是和他的流数法分不开的，和同时代或稍后的大多数数学家一样，他们研究稍微复杂的函数只能把他们展开成级数，再进行微分或积分才能处理他们，因此，在这一时期，Newton, Leibnize等独立得到如sinx ,cosx 、 arcsinx等一些特殊函数的级数，其后， Bernoulli , Euler等大量依靠了级数的运用。这些工作表明。在17世纪下半叶，数学家们在研究超越函数，用他们的级数来处理方面是富有成效的，在这个时期，级数还被用来计算一些特殊的量如等，除此之外，级数还用在隐函数的计算方面。 2、函数的展开 17世纪后期和18世纪，摆在数学家面前的问题之一是函数表的插值。为适应航海、天文、地理的发展，要求三角函数、对数函数和航海表有较大的精度，因而必须寻求更好的插值方法。Briggs、Newton 和Gregory深入研究有限插值方法，得到相应的插值公式。这个公式由Taylor发展成为无穷级数的方法，从此之后，函数作为分析的等价物，用以计算函数的值，代表函数参加运算，并以所得结果解释函数性质，但在运算过程中，级数视为多项式的直接的代数推广，或直接作为多项式来对待，没有考虑级数的敛散性，这种观点一直延续到19世纪初，取得了丰硕的成果。但是，直接运用带来成果的同时，也产生了悖论等式。 如：James Bernoulli 利用公式 两端分别乘以，再相加得： 由此得到： 这是一个矛盾的结论。事实上，上式中的每一项都没意义。 3、收敛和发散性问题 悖论等式的出现使数学家认识到：级数的无限多项之和有别于有限项的和，注意到了函数展开的有效性---收敛性。在1810年前后，数学家开始确切地表达无穷级数。1821年，Cauchy给出级数收敛和发散的确切定义，并给出一些判别法则。函数项级数的一致收敛性确切的表述属于Weierstrass，Dirichlet也给出了绝对收敛级数的性质。到19世纪末，无穷级数收敛的许多判别法都已经建立，理论完善。 同时，18世纪中后期，Euler、 D*Alember、Lagrange等研究天文学、物理学等问题时，相继得到某些函数的三角级数表达式。19世纪，Fourier 研究热流现象时，提出了任意周期函数的三角展开，并断言 函数都能展开成三角级数。这就是Fourier 级数，也是Fourier分析的起源，但是关于函数的三角级数是否收敛于函数本身的问题，在函数项级数一致收敛性的概念之后才得到重视和解决。现在，Fourier 级数已经发展为Fourier分析理论。 第九章 数项级数 本章研究的主要对象为数项级数，显然，这是一个无限和。以前处理的对象都是有限和，因此，将要解决的主要问题是，如何将有限和过渡到无限和---级数的收敛性问题，进一步研究，如果无限和确实存在，如何进行运算---级数的性质问题。 我们知道：将有限过渡到无限正是极限处理的对象的特点，因此，可以设想，必将借助于极限理论将有限和推广到无限和，进一步形成级数的相关理论。为此，先做一些准备工作。 §1 上极限和下极限 给定有界数列 记 则由此构造两个数列、，且具有性质： 有界且单调上升，有界且单调递减。 因而存在实数， 使得，显然。 定义1.1 称 为数列的上极限，为数列的下极限，记为 因此，通过给定的有界数列，我们构造了两个收敛的子列，由此进一步引入上下极限的定义。那么，