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第七章　连分数　　　　　　　　　　连分数的基本性质 　　在本章中我们要将讨论对象扩大到实数范围。我们已经知道任一实数可用有限或无限小 数来表示，在本章中我们将证明任一实数可用有限或无限连分数来表示。 　　连分数的定义 　　分数 　　　　　　　　　　　 　　　　　(1) 叫有限连分数。常记为： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2) 或。 　　　　　　　　　　　　　　　　(3) 　　注　在连分数（1）中，为实数，且当的个数无穷时，叫无限连分数，用(3)的记 号即 　　　　　　　　。 　　定义，叫（1）的第个渐近分数。 　　渐近分数的性质 　　由渐近分数的定义知是的函数，且与无关，再由记号　　 （3）及定义易知： 　　　　　　　　　　（4） 更一般，我们有 　　定理1　若连分数的渐近分数是，则下列关系式 成立： 　　　　　　 　　　　　　， 　　　　　　　　（5） 其中。 　　证　当＝1，2，3时，由（4）即得（5）。假设（5）对小于的正整数成立。则 　　　　　　 　　　　　　　　 由，得： 　　　　　　　　　　， 由数学归纳法知（5）式成立。 　　定理2　若连分数的第个渐近分数是，=1，2，…，，则下列关系成立： 　　　　　　 　　　　　　　　　　　（6） 　　　　　　 　　　　　　　　　　（7） 　　证（i）当＝2时， 　　　　　　， 即（6）式成立。假定，则由定理1， 　　　　　　　 由数学归纳法，（6）式成立。 　　（ii）由（6）及定理1知（7）式成立。 　　简单连分数 　　在连分数的定义中出现的可为实数，下面对加以限制，得出简单连分数的概念。 　　定义　若是整数，是正整数，则连分数叫简 单连分数。若的个数有限，就叫有限简单连分数；若的个数无限，就叫无限简单连分 数。对无限连分数，如当时，有一个极限，就把这一极限值叫做连分数的值。 　　简单连分数的性质 　　定理3　设是简单连分数，是它的第ｋ个渐近分数，则 　　（i）当时，，因而对任何来说，有； 　　（ii），，； 　　（iii），=1，2，3，…都是既约分数。 　　证（i）由定理1知，因为，故当时 　　　　　　　　。 又，由归纳法（i）获证。 　　（ii）由（7）式即得 　　　　　　　， 　　　　　　　　 故　　　　　　　，。 由（6）式即得 　　（iii）由（6）式即知。 　　定理4　每一简单连分数表示一个实数。 　　证　显然每一个有限简单连分数表示一个有理数，今设 　　　　　　　　　　　　　 为任一无限简单连分数，是它的各个渐近连分数，由定理3知 　　　　　　　　　　 是一个有界递增数列， 　　　　　　　　　　 是一个有界递减数列，并且由定理2，定理3知 　　　　　　　　 　　因此（=1，2，3，…）作成一个区间套，由区间套定理（参看数学分析 教材）知，存在，因此定理获证。 第七章　连分数 　　　　　　　　把实数表成连分数 　　在上节我们证明了任一简单连分数表示一个唯一的实数这一节我们证明每一实数基本上 能够唯一地表成简单连分数。 　　有理数表成简单连分数 　　定理1　每一有理数均可表成有限简单连分数。 　　证　设为有理数，则。由辗转相除法即得 　　　　　　　　　　，， 　　　　　　　　　　，， 　　　　　　　　　　　…… 　　　　　　　　　　，， 　　　　　　　　　　 故。 　　对有理数表成有限简单连分数的唯一性问题，我们有下面的结论。 　　定理2　（1）若，并且，则 =，。 　　（2）任一有理数有且仅有两种方法表成简单连分数，即： 　　　　　　　　　。 其中。 　　证（1）设 　　　　　　　 则,。 　　对用归纳法。 ＝1时，，又。则。若，则 矛盾。故＝1。 　　设－1时成立，则，于是，且。 　　对用归纳假设得：－1＝－1，且 　　　　　　　　。 故，且＝。（2）显然成立。 　　无理数表成简单连分数 　　定理3　任一无理数可表成无限简单连分数。 　　证 设为无理数，则由得： 　　　　　　　　　　，同理： 　　　　　　　　　， 　　　　　　　　　　　…… 　　　　　　　　　， 　　　　　　　　　　　…… 故。于是有： 　　　　　　　　　，k＝2，3，… 下面只须证。 　　因为　　　　　， 但，故，所以 　　　　　　　　　　 故有，即。又，故定理成立。 　　定理4　每一无理数只有唯一一种方法表成无限简单连分数。 　　证　设为无理数， 　　　　　 　　　　　　 　　可仿定理2用归纳法证明。故只有一种方法表为无限简单连分数。