第讲 (学生)对顶角垂直同位角内错角同旁内角精品.docVIP

第1讲 对顶角、垂线、三线八角、邻补角、余角、补角 一、基础知识点： 1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。 2.相交：在同一平面内，有一个公共交点的两条直线称为相交线。 3.邻补角：（1）定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。 （2）性质：位置——互为邻角 数量——互为补角（两角之和为180°） 4.对顶角：（1）定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角 （2）性质：对顶角相等 几何语言：∵∠1+∠2=180° ∠2+∠3=180° ∴∠1=∠3（同角的补角相等） 5、邻补角和对顶角的区别和联系 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。 ∠3+∠4=180° 注意： ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 概念巩固 1、如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝50°，求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数. 解：∵∠BOD与∠AOC是对顶角 ∴ ＝ ＝ °（ ） ∵ 与 是邻补角 ∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130° ∵ 与 是对顶角 ∴∠BOC＝∠AOD＝130°（ ） 2、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC.已知∠BOE=65°,求∠AOD、∠AOC的度数. 【基础知识点】 6、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 几何语言记作： 如图所示：AB⊥CD，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 简称：垂线段最短。 7、垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 8、点到直线的距离 （1）定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 如图，PO⊥AB，点P到直线AB的距离是PO的长。 PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。 （2）应用：现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 9、 “垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”联系与区别 ⑴垂线与垂线段的区别：区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 ⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。 概念巩固 1．下列说法中正确的是（ ） A．有且只有一条直线垂直于已知直线。 B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。 C．互相垂直的两条直线一定相交。 D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm。 2．如图，计划把河水引到水池A中，先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_________________________________________. 3．如图，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝______． 4、如图，OA⊥OB，OC⊥OD，垂足均为O．则∠BOC＋∠AOD等于（　　） （A）150° （B）160° （C）170° （