第讲 级数.docVIP

级数 例1 讨论级数在哪些处收敛？在哪些处发散？（第一届：五） 解（1）当时，此级数为，是交错级数．由莱布尼茨判别法知，此时级数收敛． （2）当时， ，或， 发散； 又由可知收敛． 于是， 发散， 从而发散． （3）当时，级数写成 ． 除第一项外，每一项皆为负项，乘以后可转化为正项级数． ， 因此，与敛散性相同．而发散，发散，从而所给级数发散． 从上所述，所给级数当时收敛，其他情形发散． 例2 对讨论幂级数的收敛域．（第二届：五） 注 书上此处是收敛区间，实际上指的是收敛域——因为以前的教科书上常把收敛域叫做收敛区间．另外，书上没有讨论和的情形． 解 ， 所以收敛半径，收敛区间为． （1）在右端点处，级数为． 当时，，根据比较审敛法的极限形式知，发散； 当时，由广义积分 ， 发散，根据柯西积分审敛法知，发散； 当时，，根据比较审敛法知， 收敛． 综上所述，幂级数在右端点处，当时发散；当时收敛． （2）在左端点处，级数为． 当时，，根据收敛的必要条件知，发散； 当时，↘，根据交错级数的莱布尼茨审敛法知，收敛． 综上所述，幂级数在左端点处，当时发散；当时幂级数收敛． 所以，当时，收敛域为；当时，收敛域为；当时，收敛域为． 例3 设为正实数列，试证明： （1）若对所有的正整数满足：，且发散，则也发散． （2）若对所有的正整数满足：（常数），且收敛，则也收敛．（第三届：四） 证明 、为正项级数． （1）由，有 ． 发散，故发散． （2）由， 即 ， 同（1），有． 收敛，故收敛． 另证分析 正项级数比较审敛法的另一种形式：设、均为正项级数。若有，则收敛收敛，即发散发散。 另证 、为正项级数． （1）由．发散，发散． （2）由．又，，即．收敛，收敛． 例4 证明：任何正的有理数都可以表示为调和级数中有限项之和． （第三届：十） 注 书上的分析与解法过程中都有错误． 证明 任取定，其中。由↗（）且↘可知，必、，使得 ． （1）若式中等号成立，则有，命题得证；否则，有． 作，于是．此时必存在唯一的，使得 ． （2）若式中等号成立，则有，命题得证；否则，有．再作，其中．因为，所以分子、满足 ． （#） ．于是，又存在唯一的，使得 ． （3）同上考虑，若式中等号成立，则有，命题得证；否则再令…，如此下去．由于（正整数）分子满足，所以上述步骤必定有限步后结束．命题得证． 例5 设，，求证：级数收敛，并求其和．（第四届：十） 证明 设，则．于是，得 ， 得 ． 比较两边各同次幂项的系数，可得 ，（）， 且知，，…．由归纳法可知，故当时，有，于是级数的部分和 ． 因为当时，有，故，因此所给级数收敛，且和为． 例6 求证级数收敛，并求其和．（第五届甲乙组：三） 引理 当时，，其中称为为欧拉常数． 证 记．因为 且 ， ，故有界． 再由单调减即知，数列收敛．记，则，从而有．证毕． 证及解法一 记．由 是（）的低阶无穷大（其中为欧拉常数），有 ． 由比较审敛法可知收敛． 下面求和． ，， ， ； 又，， 于是，柯西乘积 ，． 由幂级数性质，当时，有 ， 再逐项积分，得 ， 故有 ，． 又已证得在点收敛，故其和函数在点处左连续．于是，再 对上式两边令，即得． 证及解法二 对，有 ， 令，即有，故，这同时也证明了级数收敛． 分析三 此级数为正项级数．记，则一般项的分母．由级数的收敛性，只需证明当充分大时，有分子，其中，则有．由于，，故级数收敛．于是，根据比较审敛法即知收敛． 求和法同解法一． 证及解法三 记，． ， 而是比（）低阶的无穷的，所以当充分大时，有，从而有，故收敛． 求和法同解法一．略． 分析四 根据定义，级数的和部分和数列的极限．于是，将其部分和表示成二次和，然后交换求和顺序以便求和——这与交换二次积分的积分顺序以便积分的方法相对应（前者是对离散变量求和，后者是对连续变量求和）． 证及解法四 （注意，） ， 故，这同时也证明了级数收敛． 例7 下列级数绝对收敛的是（A）； （B）； （C）； （D）．（第五届大专组：二（6）） 解 （C）（D） 例8 求级数的收敛半径及和函数． （第六届甲乙组：八） 分析 先用极限求收敛半径．因为次幂项的系数为，所以考虑使用夹逼准则．其和函数的求法与例6相似． 解 记，则由，有． ，故，即得级数的收敛半径． 下面求级数的和． ，； ，， 从而，． 所以在内及均绝对收敛，故它们的柯西乘积 也绝对收敛，而且 ．