第讲 高等数学(四)(新版).docVIP

四、二次曲面 旋转曲面 柱面 （一）二次曲面 三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。 例如 球面： 椭球面： 椭圆抛物面： 双曲抛物面： 单叶双曲面： 双叶双曲面： 注意：以上方程是二次曲面的标准方程，还应该知道它们的各种变形。 （二）旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。例如，顶点在坐标原点O，旋转轴为 z 轴，半顶角为α的圆锥面 以 x 轴为旋转轴的旋转双曲面 已知旋转曲面的母线 C 的方程为 旋转轴为z轴，只要将母线的方程 f ( y ，z）＝0中的 y 换成，便得曲线 c 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程，即 同理，可得其他情形的旋转曲面的方程。 （三）柱面 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线 C 叫做柱面的准线，动直线 L 叫做柱面的母线。例如，以 xOy平面上的圆 x2+y2＝ R2 为准线，平行于 z 轴的直线为母线的圆柱面 以xOy平面上的抛物线y2＝2x为准线，平行于 z 轴的直线为母线的抛物柱面 在空间直角坐标系中，如果曲面方程 F ( x , y ，z)＝ 0 中，缺少某个变量，那么该方程一般表示一个柱面。例如，方程 F ( x ，y)＝0一般表示一个母线平行于 z 轴的柱面，方程 G ( x , z ）=0 , H ( y , z ) =0一般表示一个母线平行于 y 轴，x轴的柱面。 （四）例题 【 例1-1-11 】方程z2-x2-y2＝0所表示的曲面是 （ A ）单叶双曲面 （ B ）双叶双曲面 （ C ）旋转双曲面 （ D ）圆锥面 【 解 】 在顶点位于原点、旋转轴为 z 轴的圆锥面方程中，令 a = 1 ，即为所给方程，故选（ D ）。 【例1-1-12 】将双曲线 C 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程是 【 解 】 曲线 C 绕 x 轴旋转，只需将 C 的方程中的 y 换成,故应选（ B )。 五、空间曲线 空间曲线可以看作是两下曲面的交线。若空间曲线 C 是曲面 的交线，则 C 的方程可用下述方程组表示 此方程组称为空间曲线 C 的一般方程。 若将空间曲线 C 上动点的坐标 x 、y、 z 表示为参数 t 的函数： 这方程组称为空间曲线 C 的参数方程。 例如，参数方程 表示的空间曲线是螺旋线。 微分学 一、极限 （一）函数的几种特性 （二）函数的极限 1 . 函数极限的概念 无穷小与无穷大 函数的极限按自变量的变化趋向、。可分成以下两种。 当时， f ( x ）无限趋近于常数 A , 称作 f ( x ）当时的极限为 A; 记成或； 当时， f ( x ）无限趋近于常数 A , 称作 f ( x ）当时的极限为 A; 记成或； 它们的严格数学定义需用“”或“”来描述，可参阅教材。 特别地，若当（或）时的极限 A = 0 ，则称 f ( x ）为当（或）时的无穷小。 若当 （或）时， f ( x ）的绝对值| f ( x ）|无限增大，则称 f ( x ）为当（或）时的无穷大，记成（或）。 注意：按函数极限的定义， f ( x ）为无穷大是极限不存在的一种特殊情形，但习惯上也称“函数的极限为无穷大”。 1页