第讲任意角弧度制及任意角的三角函数.docVIP

第1讲　任意角、弧度制及任意角的三角函数 【2013年高考会这样考】 1．考查三角函数的定义及应用． 2．考查三角函数值符号的确定． 【复习指导】 从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解． 　　 基础梳理 1．任意角 (1)角的概念的推广 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(kZ)． (3)弧度制 1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α，则|α|＝. 用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关． 弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2. 2．任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝，角α的正割，余割，余切分别是sec α＝＝，csc α＝＝，cot α＝＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，作PN垂直y轴于点N，则点M，N分别是点P在x轴，y轴上的正射影(简称射影)．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝ON，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边(或其反向延长线)相交于点T或(T′)，则tan α＝AT.我们把轴上向量O、O和AT或(AT′)分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线． 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT 为正切线 一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 两个技巧 (1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值． (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意 (1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角． (2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． 双基自测 1．(人教B版教材习题改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2kπ＋45°(kZ) B．k·360°＋π(kZ) C．k·360°－315°(kZ) D．kπ＋(kZ) 解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋π(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确． 答案　C 2．若α＝k·180°＋45°(kZ)，则α在(　　)． A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 解析　当k＝2m＋1(mZ)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角； 当k＝2m(mZ)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角． 答案　A 3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是(　　)． A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　由sin α＜0知α是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．α是第三象限角． 答案　C 4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为(　　)． A．－ B. C．－ D．－ 解析　由三角函数的定义可知，r＝，cos α＝＝－. 答案　A 5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________. 解析　根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，y＜0，sin θ＝＝－y＝－8. 答案　－8 　　 考向一　角的集合表示及象限角的判定 【例1】(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合； (2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[