第讲函数的凸性及图形描绘.docVIP

第17讲 函数的凸性及函数图形的描绘 教学内容 1. 凸函数（凹函数）及拐点的定义；2. 凸函数与凹函数判别法则；3. 詹森不等式； 4. 函数图形的描绘. 教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能较好地掌握函数的凸性与拐点的概念，能熟练地求函数凸（凹）的区间及拐点坐标，会应用函数的凸性证明不等式问题．了解詹森不等式，会运用詹森不等式证明某些不等式. 知道函数图象描绘步骤． 教学重点及难点 教学重点：凸函数与凹函数判别詹森不等式 教学方法及教材处理提示 (1) 函数的凸性分析定义比较抽象，可以从函数的凸性几何意义与出分析定义，学生好接受. (2) 凸函数与凹函数判别是本讲教学重点，着重讲授应用二阶导数判别函数的凸性法则的证明，其证明思想一定要讲清讲透讲，做到人人掌握. (3) 本讲的难点是运用詹森不等式证明不等式问题，要求较好学生能够掌握此方法． (4) 主要是通过举例，教会学生根据函数的性态表，以及函数的单调区间，凸区间和渐近线等，大致描绘出函数图象． 作业布置 作业内容：教材 :1（2，4），3，4（2），7，8，9. 讲授内容 一、函数的凸性 1．定义 设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有，则称为上的凸函数．反之，如果总有则称为的凹函数． 如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数． 2．引理 为上的凸函数的充要条件是：对于上的任意三点总有 （1） 证：[必要性] 记由的凸性知道 从而有 ， 整理后即得(1)式· [充分性] 在上任取两点，（，在[]上任取一点，由必要性的推导逆过程，可证得 故为I上的凸函数 同理可证，为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上任意三点，有 3．可导函数凸性的等价命题 定理6.13 设为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价： 为I上凸函数； 为I上的增函数； 对I上的任意两点，有． (5) 证：() 任取I上两点 ()及充分小的正数．由于，根据的凸性及引理有 由是可导函数，令时可得 ，所以为I上的递增函数． () 在以为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和递增，有 ．移项后即得(5)式成立，且当时仍可得到相同结论． () 设以为上任意两点， 01．由，并利用， 分别用和乘上列两式并相加，便得．从而为上的凸函数． 注：论断几何意义：曲线总在它任一切线之上．这是可导凸函数的几何特征． 4．二阶可导函数凸性的充要条件 定理6．14 设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸(凹)函数的充要条件是 ． 例1讨论函数的凸(凹)性区间。 解：由于，因而当时，时．从而在(]上为凸函数，在[)上为凹函数． 例2 若函数为定义在开区间()内的可导的凸(凹)函数，则,为的极小(大)值点的充要条件是为的稳定点，即． 证：下面只证明为凸函数的情形． 必要性已由费马定理可出，现在证明充分性． 由定理6．13，任取()内的一点，它与一起有 因，故有，即为的极小值点(且为最小值点)． 例3(詹森(Jensen)不等式) 若为上凸函数，则对任意，，且则有 证：应用数学归纳法．当时，命题显然成立．设时命题成立．即对任意及 都有 现设及 令．由数学归纳法假设可推得 这就证明了对任何正整数，凸函数总有不等式(8)成立． 例4 应用詹森不等式证明：设有. 证：（1）设，则，故在内为凸函数。取，由詹森不等式得 也就是 即. 例 证明不等式，其中均为正数 证：设由的一阶和二阶导数 可见，在时为严格凸函数，依詹森不等式有 从而 即。 又因所以 二、函数的拐点 定义2 设曲线在点处有穿过曲线的切线．且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点． 由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点． 例l中的点为=arctan的拐点．正弦曲线=sin有拐点为整数． 定理6．15 若在二阶可导，则为曲线的拐点的必要条件是 定理6．16 设在可导，在某邻域内二阶可导．若在和上的符号相反，则()为曲线的拐点． 注：若()是曲线的一个拐点， 在的未必可导．如：函数y=在=0的情况． 三、函数图象的描绘 作函数图象的一般程序是： 1．求函数的定义域；2．考察函数的奇偶性、周期性；3．求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点；4．确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；5．考察渐近线；6．综合以上讨论结果画出函数图象． 例 讨论函数的性态，并作出其图