第讲区间套定理.docVIP

第28讲 上（下）确界确界 教学内容 1. 数集合的上（下）界， 数集合上确界和下确界确界原理． 实数集合的有界性和确界概念对较好学生掌握实数集合的有界性和确界概念证明具体集合的确界 教学重点及难点 教学重点：重点是确界概念和确界原理 教学方法及教材处理提示 (1)复习中学的有关实数的知识． (2)本讲的重点是区间套定理及其推论，明确区间套所确定的点就是区间列端点所对应数列和的极限. (3)应用区间套定理及其推论来证明数列收敛的柯西准则，讲清讲透，使较好的学生能掌握. (4)本讲的难点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对较好学生可只布置证明具体集合的确界的习题． 作业布置 作业内容：教材:2;4(3,4);5；7。 讲授内容 一、 有界集.确界原理 定义1 设为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切，都有M(L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)． 若数集既有上界又有下界，则称为有界集．若不是有界集，则称为无界集． 例1 证明数集为正整数}有下界而无上界． 定义2 设是R中的一个数集．若数满足： （i）对一切，有，即是的上界； （ii）对任何存在，使得即又是的最小上界 则称数为数集的上确界，记作 定义3 设是R中的一个数集．若数满足： （i）对一切，有，即是的下界 （ii）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则称数为数集的下确界，记作 上确界与下确界统称为确界． 例1 设为区间中的有理数}.试按上、下确界的定义验证： 解：先验证 （i）对一切，显然有即是的上界． ii对任何，若，则任取都有；若，则由有理数集在实数集中的稠密性，在中必有有理数即存在，使得． 类似地可验证 注1 由上(下)确界的定义可见，若数集存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数集存在上、下确界，则有．数集S的确界可能属于，也可能不属于． 定理1.1(确界原理) 设为非空数集．若有上界，则S必有上确界；若有下界，则必有下确界． 证明略 例2 设为非空数集，满足：对一切和有．证明：数集有上确界，数集下确界，且. 证：由假设，数集中任一数都是数集的上界，中任一数都是的下界，故由确界原理推知数集有上确界，数集有下确界． 现证不等式，对任何，是数集的一个上界，而由上确界的定义知，是数集的最小上界，故有．而此式又表明数是数集的一个下界，故由下确界定义证得． 二、区间套定理与柯西收敛准则 定义1 设闭区间列具有如下性质： （?）； （??） 为闭区间套，或简称区间套。 这里性质（?） （1） 定理7.1（区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得，，即， （2） 证：由（1）式，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有 （3） 同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（??）， （4） 且 （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。 最后证明满足（2）的是唯一的。设数也满足 则由（2）式有 由区间套的条件（??） ， 故有 由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质： 推论 若是区间套所确定的点，则对任给的0，存在N0，使得当N时有 注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开区间列，如，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且，但不存在属于所有开区间的公共点. 作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的“数列的柯西收敛准则”（定理2.10）收敛的充要条件是:对任给的,存在,使得对有. 证：[必要性] 设.由数列极限定义,对任给的,存在,当时有 因而 [充分性] 按假设,对任给的,存在,使得对一切有,即在区间