第讲对数函数与相关复合函数.docVIP

第六讲、对数函数与相关复合函数 板块一、对数与对数运算 知能点全解： 知能点一：对数的定义 一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 叫做 以为底 的对数，记作 ，叫做对数的底数，叫做真数。 特别提醒： 1、对数记号只有在，时才有意义，也就是说负数和零是没有对数的。 2、记忆两个关系式：①；②。 3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便, 的常用对数， 简记作：。 例如：简记作 ; 简记作。 4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，的自然对数，简记作：。 如：简记作；简记作。 例 1：求下列各式中的 （1）； （2）； （3） 解：（1）； （2），又因为，所以； （3）所以，所以，故。 及时演练： 1、将下列指数式化为对数式： （1） （2） （3） 2、将下列对数式化为指数式： （1） （2） （3） （4） 3、求下列各式中的 （1） （2） （3） （4） 4、若，则之间满足（ B ） B、 C、 D、 5、在中，实数的取值范围为 。 6、设方程的两个根为，则的值为 。 7、（1）若，则 ；（2）若，则 。 8、方程的解 。 9、若，则 。 知能点二：对数运算性质： 如果 有： 特别提醒： 1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。如是存在的，但是不成立的。 2、注意上述公式的逆向运用：如； 例 2：用表示下列各式： （1） （2） 解：（1） （2） 及时演练： 1、计算下列各式的值： （1） ；（2） ；（3） ； (4) 。（5） ；（6） ； （7）（×） ；（8） ； 2、用表示下列各式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 3、计算下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 4、下列各式中值为零的是（ C ） A、 B、 C、 D、 5、，则（ B ） A、 B、 C、 D、 6、已知，且，则的值为 。 7、已知且，则的值为 。 8、已知 ，则 。 知能点三：对数的换底公式及推论： 1.对数换底公式： 2.两个常用的推论: ， 例 3：已知，求的值。 解：∵ ∴，∴ 例 4：已知 ， , 用 表示 56 解：因为，则 , 又∵, ∴ 及时演练： 1、计算 ； 2、已知，那么 ； 3、已知，那么 ； 4、若，则 。 5、，则 ； 6、化简的结果为 ； 7、的值所在区间为（ D ） A、 B、 C、 D、 知能点四：两个常用的恒等式： ， 例 5：求的值 解：原式 及时演练： 1、计算下列各式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 。 2、如果则 。 3、方程的解是 。 4、设 且 （1） 求证 ； （2） 比较的大小 证明（1）：设 ∵ ∴ 取对数得： ， ， ∴ （2） ∴ 又： ∴ ∴ 板块二、对数函数 知能点全解： 知能点一：对数函数的定义：函数叫做对数函数。 知能点二：对数函数的图像和性质： 图 像 性 质 定义域： 值域： 过点，即当时， 时 时 时 时 在上是增函数 在上是减函数 特别提醒：对指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律：在轴上侧，图像从左往右相应的底数由小变大；在轴下侧，图像从左往右相应的底数由小变大。即不论在轴上侧还是下侧，底数按逆时针增大。 题型一：函数的定义域值域问题 例 6：求下列函数的定义域、值域： （1）； （2） 解：（1）∵ ∴ ∴ 所以函数的定义域为∵ 所以函数的值域为。 （2）∵ ∴或 所以函数的定义域为 因为，即能取遍一切正实数，所以 所以函数的值域为。 及时演练： 1、下列函数定义域为： （1） ； （2）