第课时无穷小与无穷大.docVIP

总 课 题 第一章　函数、极限与连续 总课时 第17、18 课时 分 课 题 1.5　无穷小与无穷大 分课时 第1、2课时 教学目标 知识目标： 1. 要求学生能够在理解无穷小的概念基础上，掌握无穷小与无穷小之间的关系，并能够判断常见的无穷小； 2. 结合无穷小与无穷大的特点自由探讨无穷大的概念及其相关性质； 技能目标： 知道什么是无穷大与无穷小； 会进行无穷小之间阶的比较； 情感目标： 在掌握无穷小与无穷大的过程中培养学生勇于探索的精神，激发学生对极限研究学习的浓厚兴趣． 重点难点 1．无穷小与无穷大的概念。 2．无穷小与无穷小之间阶的比较； 教学方法 讲练结合教学法 要求学生能够理解无穷小与无穷大的概念及其它们之间的关系，并能够在对两个无穷小之间进行阶的比较基础上，利用等价无穷小这一有利工具解决一些极限计算问题． ?教材分析 一、无穷小在微积分学中的地位 极限概念是微积分理论的重要基石极限思想贯穿于整个微积分学无穷小是极限的灵魂与内核在高等数学课程中，无穷小主要起运算工具的作用，它不仅被用以计算极限，而且还被用以证明极限的性质和运算法则因此，在微积分学中，整个极限理论就是无穷小的分析与应用的理论在高等数学中，无穷小的比较是研究极限理论和计算极限的重要工具其中，以等价代换原理为核心的等价无穷小理论尤为重要略去高阶无穷小不计的等价代换原理不仅是处理微积分问题的重要思想而且是简化极限运算的有效方法在高等数学与微积分教材中，无穷小的比较一般是以函数的极限极限运算法则无穷小与无穷大的概念以及无穷小的性质等为基础同时它又是微积分后继内容的理论基础和思想工具如在极限计算中配合使用等价代换方法与洛必达法则可使运算简化在判断级数收敛性时将通项进行等价替换也可使得运算大为简化?学情分析 09级理科班作为毕业班面临着就业及“5+2”专转本升学考试的双重压力。而由于前面已经学习过了数列和函数的极限，大部分学生已经能够熟练掌握常见的极限的计算方法，对于常见以0或∞为极限的函数（数列）极限问题较为熟悉，这为本课讨论“无穷小与无穷大”打下了基础。 本课将在给出无穷小的概念，与学生一起探究无穷小的性质及其无穷小阶的比较的基础上，第二节课将无穷大放手给学生自由讨论、研究，最终与学生一起研究无穷小与无穷大的关系，从而突出重点，突破难点。 第一课时 ?复习引入 通过前面的学习，相信大家对极限的计算能够有一定程度的掌握。 首先我们简单的检查一下大家的学习成果： 练习：计算下列极限 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 学生活动1： 1、快速口答上述极限的结果； 2、结合上述六个极限，你能发现那些规律？ 通过对上述极限特点总结，给出无穷小的定义： ?新课讲授 一、无穷小的定义 若函数当（或）时的极限为0，则称函数为（或）时的无穷小量，简称无穷小。 学生活动2： 例1 下列变量在给定的变化过程中，哪些是无穷小？ （1）（） （2）（） （3）（） （4）（） （5）（） （6）（） （7）（） （8）（） 注：无穷小与自变量的变化趋势有关，在叙述的时候应叙述清楚是何种变化过程中的无穷小。 二、无穷小的性质 学生活动3： 例2 结合极限的四则运算性质，思考： （1）同一变化趋势下的任意两个无穷小的和、差、积有什么特点？能否扩展到无限多个？试举例说明。 性质1：在同一变化趋势下的任意有限多个无穷小的和、差、积仍是无穷小； （2）任一无穷小与有界量的积呢？ 性质2：任意无穷小与有界量的乘积仍是无穷小 （3）同一变化趋势下的任意两个无穷小的比呢？讨论无穷小、与的特点，观察它们的不同之处。 三、无穷小的比较 设与都是时的无穷小，且，记。 （1）若，则称当时，是比高阶的无穷小，记作（）； （2），则称当时，与是同阶无穷小； 特别地，若，则称当时，与是等价无穷小，记作 （） 学生活动4： 例3 当时，下列函数与相比，哪些是高阶无穷小，哪些是同阶但不等价无穷小，哪些是等价无穷小？ ，，，，， 例4（1）（07、10年真题）当时，无穷小量是的（ ） A高阶无穷小 B等价无穷小 C低阶无穷小 D同阶但不等价无穷小 （2）（08年真题）当时，与是__________无穷小（高阶、等价、同阶）. （3）（09年真题）2、当时，与相比较是（ ） A高阶无穷小 B等价无穷小 C低阶无穷小 D同阶但不等价无穷小 例5 设时，与为等价无穷小，求的值。 ?课堂小结 通过本节课的学习，我们在掌握了无穷小的定义的基础之上，掌握了无穷小的性质，并学会了无穷小的比较。回顾课初，我们提到的函数极限，思考： 如果把这些函数