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第25章：解直角三角形 第4课时：正切和余切（一）2007年11月16日 ? 教学目标： 1、使学生了解正切、余切的概念，能够正确地用tgA、ctgA表示直角三角形(其中一个锐角为∠A)中两边的比； 2、了解tgA与ctgA成倒数关系； 3、熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系． 4、逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力． 教学重点： 了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值． 教学难点： 了解正切和余切的概念． 教学步骤： 一、新课引入： 1．什么是锐角∠A的正弦、余弦？(结合图6-8回答)． 2．填表 3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？ 4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？ 5．我们已经掌握一个锐角的正弦(余弦)是指直角三角形中该锐角的对边(邻边)与斜边的比值．那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其它一些三角函数，本节课我们学习正切和余切． 正切、余切的概念，也是本章的重点和关键，是全章知识的基础，对学生今后的学习或工作都十分重要．教材在继第一节正弦和余弦后，又以同样的顺序安排第二节正切余切．像这样，把概念、计算和应用分成两块，每块自成一个整体小循环，第二循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使学生通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识． 二、新课讲解： 1．引入正切、余切概念 ①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？ 因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切．” ②给出正切、余切概念如图6-10，在Rt△ABC中，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tgA． 并把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctgA， 2．tgA与ctgA的关系 tgA·ctgA=1) 这个关系式既重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与tgA＝ctg(90°-A)区别开． 3．锐角三角函数 弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数． 锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目． 问：锐角三角函数能否为负数？ 学生回答这个问题很容易． 4、特殊角的三角函数． 给出表格： 三角函数/0°/30°/45°/60°/90° 请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值．(如图6-11) 通过学生计算完成表格的过程，不仅复习巩固了正切、余切概念，而且使 学生熟记特殊角的正切值与余切值，同时渗透了数形结合的数学思想． 0°，90°正切值与余切值可引导学生查“正切和余切表”，学生完全能独立 查出． 5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互 为余角的正切值与余切值的关系． 结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值． 即? tgA=ctg(90°-A)，ctgA=tg(90°-A)． 练习：1)请学生回答tg45°与ctg45°的值各是多少？tg60°与ctg30°？tg30°与ctg60°呢？学生口答之后，还可以为程度较高的学生设置问题：tg60°与ctg60°有何关系？为什么？tg30°与ctg30°呢？ 2)把下列正切或余切改写成余角的余切或正切： (1)tg52°；???? (2)tg36°20′；?????????? (3)tg75°17′； (4)ctg19°；??? (5)ctg24°48′；???????? (6)ctg15°23′． 6、例题 例1? 求下列各式的值： (1)2sin30°+3tg30°+ctg45°； (2)cos245°+tg60°·cos30°． 解：(1)2sin30°+3tg30°+ctg45° (2)cos245°+tg60°·cos30° =2． 练习：求下列各式的值： (1)sin30°-3tg30°+2cos30°+ctg90°； (2)2cos30°+tg60°-6ctg60°； (3)5ctg30°-2cos60°+2sin60°+tg0°； (4)cos245°+sin245°； 学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力． (四)总结扩展 请学生小结：本节课了解了正切、余切的概念及tgA与ctgA关系．知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系．本课用