单位根非平稳性分析精要.docx

一． 单位根非平稳性分析 考虑美国从1947年第一季度到2008年第四季度的季度GDP的对数序列。 (a)季度GDP的时间序列图 (b)对数GDP序列的时间图 (c)对数GDP序列的样本ACF (d)一阶差分序列的时间图 (e) 一阶差分序列的样本PACF 从(a)图可以看出，其序列具有指数增长的趋势，因此进行对数化处理,如图(b)， 经过处理的该序列呈上升趋势，表明美国经济的增长。另外，从图(c)可以看出，此序列具有高度的序列相关性。一阶差分表示美国GDP的增长率，在图(d)中可以看出其变化趋势，该差分序列似乎在一个固定的均值附近变化，由t检验统计量的p值小于0，可以证明一阶差分序列均值不等于0。图(e)给出了一阶差分的样本PACF，我们选择p=10，对对数序列进行Dickey-Fuller单位根检验，其ADF检验统计量是-1.6109，p值是0.4569，表明单位根假设不能被拒绝。 二.带时间序列误差的回归模型(yt=α+βxt +et, 误差et序列相关) 考虑如下两个美国的周利率序列之间的关系进行模型分析 （观测数据都是从1962年1月5日至1999年9月10日，都以百分数给出） r1t:一年期固定期限国库券利率;r3t:三年期固定期限国库券利率 图(1) 黑线是一年期固定期限国库券利率，红线是三年期固定期限国库券利率 图(2)三年期对一年期的散点图 从图(1)和图(2)，我们可以看出这两种利率是高度相关的，描述这种关系利用简单的模型r3t=α+βr1t +et。所拟合的模型r3t=0.832+0.930r1t +et，δe=0.523,其 R2=96.5%，两个系数的标准误差分别为0.024和0.004，模型证实了两种利率之间的高度相关性。然而，由图(3)所示的该模型残差的时间图和图(4)残差的ACF可见，该模型是严重不充分的，且残差的样本ACF是高度显著的并且缓慢衰减，显示出单位根非平稳时间序列的特点。 图(3)残差时间图 图(4)残差的ACF 考虑到残差的单位根非平稳，我们对两个利率序列进行差分处理 (c1t= r1t-r1,t-1; c3t= r3t-r3,t-1),并考虑线性回归c3t=α+βc1t +et. 图(5)所示的是两个变化量序列的时间图，图(6)是它们的散点图，这两个变化序列仍然是高度相关的，为它们拟合地线性回归模型为c3t=0.792 c1t +et ，δe=0.069,其中R2=84.8%，两个系数的标准误差分别是0.0015和0.0075。 图(5)变化量序列的时间图 图(6) 变化量序列的散点图 从图(7)的残差时间图和图(8)残差的)样本ACF，表明残差中有一些显著的序列相关性，但相关系数的绝对值要小得多。利用auto.arima()函数给残差序列拟定了arima(0,0,1)的模型 图(7)残差的时间图 图(8)残差的样本ACF 拟合的模型为c3t=0.794 c1t +et，et= at+0.1823at-1, δa=0.0678,其中R2=83.1%。 该模型表明前述两个周利率序列有如下关系： r3t= r3,t-1 +0.794(r1t - r1,t-1)+ at+0.182 at-1，这两种利率是相互影响的并序列相关的。