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箱变坐标系与变值函数 ——初识一种新型数学思路与方法 (曹玉聘, 陈战杰, 黄玉义等) 摘 要 箱变坐标系和变值函数的根本特点是其坐标单位处处可变，坐标系数或变值系数可为首项为一任意非0常数的连续型初等函数（不再只是常数1）。本法（还可再做扩展）不仅从根本上解决了诸如扭面方程、非线性不均匀动态空间、函数与图象的动态对应等各类疑难问题，更从根本上扩充了现代数学的基石，其推广应用将会引起现代数学及其相关学科的某些重大突破或变革。本文概略介绍了本法的基本思路及其部分求法和算法。 关键词 扭面方程；箱变坐标系；变值系数；变值函数；变值运算。 了解本法，各种扭面类问题和非线性不均匀扭曲动态空间等疑难问题的精确表达和有关精确快捷定位运算将不再疑难！ 引 言 在长期的矿产勘查和储量计算实践中，为解决各类扭面问题的精确表达和有关精确运算，笔者探求了箱变坐标系、变值函数等新型数学方法（可叫变值方法）。虽然这一方法还比较初级和原始，但却揭示了某种带有根本性的数学规律，不仅解决了目前难以解决的各种扭面问题、非线性不均匀空间、函数与图象的动态对应和与之有关的各类数学难题，并从根本上扩充了现代数学的基石，其推广应用将会引起现代数学及其相关学科的某些重大突破或变革。为便于交流和节约篇幅，现将其基本思路和方法略述于后，以示概貌。其中，由于某些表述常常超越传统范畴，故在不得已时采用了一些新术语，望予谅解、指正。 1、箱变坐标系要点简介 要了解箱变坐标系应首先了解扭面方程和正箱体。 2．1、扭面和扭面方程初识 所谓扭面可由一条母线沿着两条异面导线适当移动或伴有某种变化而成，因其两条异面导线常可由某种常规的同面导线经适当扭动而成而故名，其扭动角度可叫扭面角或扭角。当导线和母线均为直线时则为线性扭面(如图1中的H11H12H21H22面),否则，既可为非线性扭面也可为线性扭面（见正箱体）。常规的平面和曲面只是扭面角为0的一种特例。为便于讨论，可把表示扭面的函数叫做扭面方程。目前，各种扭面方程的精确表达和有关运算尚属空白。但问题并非绝对，只要对常规数学思路与方法有所扩展或突破，此类问题便不难解决。现将扭面方程的基本求法简述如下。 （1）线性扭面方程的基本求法：如图1所示，为一投影法的简单储量块段，其中，H11、H12、H21、H22表示正厚度（对应于四个平行工程），M1、M2两面相互平行（LY1=LY2）但不等宽（LX1≠LX2），顶面（H11H12H21H22）为一简单线性扭面。试求其对应方程。 当M1、M2两面平行等宽时（图中虚线），则两面上的对应正厚度算式为： HX1=HX1(X)=H11+(H12-H11)X/LX1=AH1+BHX1X，式中，AH1=H11，BHX1=(H12-H11)/LX1， HX2=HX2(X)=H21+(H22-H21)X/LX2=AH2+BHX2X，式中，AH2=H21，BHX2=(H22-H21)/LX1。 由上述四式可得M1、M2两面间的正厚度算式为： H(X,Y)=HX1+(HX2-HX1)Y/LY1=AH+BHxX+BHyY+CHxyXY， （1） 式中，AH =H11, BHx=BHX1=(H12-H11)/LX1, BHy=(H21-H11)/LY1, CHxy=(H22-H21-H12+H11)/LX1/LY1。 式（1）为一线性扭面方程或叫一次函数。这里的一次是指整幂多项式中单个自变量最高为一次。对各种函数来说，当只考虑一个自变量时可称之为偏函数（一元函数可视为一种特殊的偏函数）。因此，线性扭面方程应是偏函数最高为一次的整幂多项式。 当M1、M2两面宽度不等或不平行或既不平行也不等宽时，则该扭面方程将难以采用常规方法直接求出。考察上述两面平行等宽时的求法可知：在笛卡儿坐标系中，两面间的纵、横坐标单位数各自处处对应相等，式中自变量的取值实际上均为同名坐标单位数。由此便可推知，若能通过适当变换使两面平行等宽或两面间X、Y的坐标单位数各自处处对应相等（如均为LX1、LY1），便可仿照上述的常规方法（采用坐标单位数）直接进行精确表达，所得扭面方程仍如（1）式所示。这里的关键是如何进行上述变换。 一般来说，实现上述变换可有两种方法：一是改变M1、M2两面间的空间密度，使之变为等长等宽的不等密空间；二是改变坐标单位使两面间的纵、横坐标单位数各自处处对应相等。以上两种变换的实质和结果完全等同，其中，后者更便于进行数学表达。其基本方法是：先设定某一基准坐标单位，然后将其附加一个非0系数（可叫坐标系数）即可。在上述变换中，采用的基准单位为坐标轴上的坐标单位，坐标系数为首项为1的某一初等函数。以上便是解决扭面问题的最初思路和方法。 （2）非线性扭面方程的基本求法：此类方程也可按照上述思路与方法求之