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4-4 系统性能分析与估算 本节将通过示例，说明如何应用根轨迹法分析系统性能。 【4-7】一单位反馈系统的开环传递函数为 试画出闭环系统的根轨迹。 解 此系统有三个开环极点：，，。由常规根轨迹法则作出根轨迹如图4-16。 由图4-16可见，有两条根轨迹线始终位于平面的右半平面，即闭环系统始终有两个右极点，这表明无论取何值，此系统总是不稳定的，这样的系统，称为结构不稳定系统。 如果在系统中附加一个开环零点，为负的实数零点，用来改善系统动态性能，则系统开环传递函数变为 将设置在之间，则附加零点后的系统根轨迹，如图4-17所示。 很明显，当由变化时，这三条根轨迹线均处在平面的左半平面，即无论取何值，系统总是稳定的。而且闭环系统总有一对靠近虚轴的共轭复数极点，即系统的主导极点。所以，无论取何值，系统的阶跃响应都是衰减振荡的，且振荡频率随增大而增大。只要适当选取值，就可以得到满意的系统动态性能。 若附加零点，取，则系统根轨迹如图4-18所示， 由图4-18可见，系统仍有两条根轨迹分支始终位于[]平面的右半平面，系统仍无法稳定。因此，引入的附加零点要适当，才能对系统的性能有所改善。 【例4－8】一单位反馈系统，其开环传递函数为： 试作根轨迹，分析对系统性能的影响，并求出系统最小阻尼比所对应的闭环极点。 解 开环传递函数有二个极点，一个零点。可以证明，此类带零点的二阶系统的根轨迹其复数部分为一个圆，其圆心在开环零点处，半径为零点到分离点的距离。分离点为 系统的根轨迹如图4-19所示 利用幅值条件（4-7）式求得分离点、处的根轨迹增益、为: =0.343; 可见,当根轨迹增益在范围内时,闭环系统为两个负实数极点,系统阶跃响应为非周期性质。 当根轨迹增益在范围内,闭环系统为一对共轭复数极点,其阶跃响应为振荡衰减过程。 当根轨迹增益在范围内，闭环系统又为两个负实数极点，其阶跃响应又为非周期性质。 下面求解系统最小阻尼比所对应的闭环极点。 在图4-19中，过坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线与负实轴夹角的余弦，即为系统的最小阻尼比 因此，最小阻尼比为所对应的闭环极点可从图4-19直接得到 该点对应的值可用幅值条件求得：。 由于最小阻尼比为0.707，故系统阶跃响应具有较好好的平稳性、快速性。 【例4-9】某非最小相位系统开环传递函数为 试作系统根轨迹。 解 所谓非最小相位系统，就是指在平面的右半平面内具有开环零、极点的系统。反之，则为最小相位系统。如前面分析的系统均属于最小相位系统。 绘制非最小相位系统的根轨迹一般与绘制常规根轨迹法则相同。①（在非最小相位系统中，虽为负反馈系统，但有时会出现形式的闭环特征式，这时应按零度根轨迹法则绘制。） 系统根轨迹： （1），则有两条根轨迹线。 （2）实轴上根轨迹区段和。 （3）渐近线 。 （4）分离点坐标 解得 分离点上的根轨迹增益分别求得为和。 （5）根轨迹与虚轴的交点 解得 根据上述分析计算，绘制系统根轨迹如图4-20所示。 当变化时，对阶跃响应的影响情况，读者可自行分析。 【例4-10】单位反馈控制系统开环传递函数为 式中可自行选定，试作变化时的根轨迹。 解 本例实际上是两个参数同时变化时的根轨迹。 解题步骤： （1）写出以变化时的等效开环传递传递函数。 系统闭环特征方程为 （4-31） (2)确定等效传递函数随变化时特征根的轨迹。 首先要确定式（4-31）的特征根，为此，作如下传递函数 （4-32） 所对应的闭环特征方程的根轨迹，即的极点变化轨迹，如图4-21(a)所示。当时，的极点分别为0.4252.235和－3.85。 （3）在特定值下，做出控制系统在变化时的根轨迹。 把特定（如）值及相应的的极点（和0.4252.235）代入式(4-31)得 作的根轨迹，如图4-21（）中的曲线①所示。 （4）作不同特定值，如时的根轨迹簇，如图4-21（）中的②和③曲线所示。 图4-21表示和变化时的根轨迹簇。从图中可见，当增大时，系统的微分作用加强，使系统阻尼加大，从而使系统的特征根向平面的左半部移动，改善了系统的稳定性。当时，如,则系统就稳定。