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级 数 往 年 试 题 一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．( c ). (A) ； (B) ； (C)； (D) . 2. 下列级数中，哪一个发散（ b ） （A）； （B） （C）； （D） 3. 下列级数中，条件收敛的是（ A ） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1． ． 2. 幂级数的收敛域是 （含端点敛散性）. 3. 已知级数的前n项部分和则此级数的通项 4.已知的幂级数展开式为，则 三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 1．求的收敛区间与和函数. 1．求的收敛区间与和函数. 解：收敛半径为，收敛区间为 ，令, 所以在内 2.写出级数 的通项，并判定其敛散性. 2.写出级数 的通项，并判定其敛散性. 解 （3分） ，所以级数发散. （8分） 3. 试求幂级数的收敛域. 3. 试求幂级数的收敛域. 解： 令， 级数的收敛半径为 (4分) 级数发散，(5分) 时级数收敛(6分) 当时收敛， 故收敛域为 (8分) 4. （8分）判别级数 的敛散性. 解：记 (6分) 所以级数收敛 (8分) 四、解答下列各题（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 1. 设级数 的和函数为S(x). 求： ① S(x)所满足的一阶微分方程； ② S(x)的表达式. 解：① ， (１分) . (３分) 因此S(x)是初值问题 的解. (４分) ② 方程的通解为 (６分) ， (７分) 由初始条件y(0) = 0，得C = 1. 故，因此和函数 . (８分) 2.（7分）求幂级数的收敛域及和函数. 解：因为 所以当，即时原幂级数收敛. 当时，原幂级数也收敛，故原幂级数的收敛域为 (3分) 又 设 则＝ (5 分) 所以 (7分) 五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．证明级数 发散. 证明：记 故级数发散.