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级数分A卷参考答案
中国计量学院2013~ 2014 学年第二学期
《数学分析（2）》课程
试卷（A）参考答案及评分标准
开课二级学院：理学院，学生班级：13信算1,2,3,数学1、2 教师：罗先发,韩亚洲
一、计算（每题5分，共25分）：
1、；
解：原式= ……..（2分）
=. ……..（3分）
2、；
解： 令， ……..（2分）
原式=. ……..（3分）
3、；
解：原式= …..（3分）
=. …..（2分）
4、；
解： 原式= …..（2分）
=. …..（3分）
5、用定义判断敛散性：（是常数）.
解：由于 …..（3分）
故当. …..（2分）
二、求由曲线所围图形的面积（8分）.
解：直线与抛物线的交点是. …..（2分）
抛物线与直线方程改写为： .....（2分）
……..（4分）
三、判断下列级数的敛散性（每题5分，共分1、；
解：原式= .....（2分）
= .....（3分）
2、；
解：，.....（4分）
故所给的级数收敛. .....（1分）
3、.
解：， .....（4分）
故所给的级数收敛. .....（1分）
四、求下列幂级数的收敛域及和函数： （8分）.
解：计算得该幂级数的收敛半径为，且在发散，
故收敛域为…….（4分）.
设该幂级数的和函数为，则
…….（2分）
故
…….（2分）
五、将函数在上展开成余弦级数.（8分）
解：将函数作周期为的偶式延拓，得
，…….（2分）
…….（4分）
故由收敛定理得
. …….（2分）
六、求偏导数（每题5分，共10分）：
1、设，求；
解： …….（5分）
2、设，求.
解：该函数由，故 …….（1分）
. …….（4分）
七、设 （每题6分，共12分）
1、求此函数在原点的重极限与累次极限；
解：令，则
，
. …….（3分）
累次极限为：. …….（3分）
2、研究此函数在原点的可微性.
解：用定义可得. ……（3分）
由于
，
故该函数在原点可微. …….（3分）
八、证明（第一题6分，第二题8分，共14分）：
1、函数列在上一致收敛；
证明：易求得该函数列的极限函数是 . …….（2分）
故对任意
，
从而该该函数列在上一致收敛. …….（4分）
2、设函数在区间上连续，且.证明：如果是偶函数，则也是偶函数.
证明：由于 ，故
. …….（2分）
对上式两个积分做变换并注意到是偶函数，得：
， …….（2分）
， …….（2分）
故由前面三式得
， …….（2分）
从而也是偶函数.
证毕.
《数学分析（2）》课程试卷（A）参考答案及评分标准 第 2 页共 4 页
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