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第十二章 级数 第一节 数项级数及其敛散性 思考题： 1. 级数收敛的必要条件所起的作用是什么？ 答：级数收敛的必要条件可用来判别一些级数的发散性，缩小了收敛级数的范围. 2. 判定一个级数是否收敛，有哪几种方法？ 答：有下列主要方法： （1）利用收敛定义，即考查是否存在. （2）若为正项级数，则可利用比较判别法或比值判别法. （3）若为非正项级数，考查是否绝对收敛. （4）若为交错级数，用莱布尼茨判别法来判断. 习作题： 1. 判别下列数项级数是否收敛： （1）, （2）, （3）, （4）. 解：（1） , 而级数发散, 级数发散. （2）是公比的等比级数，而， 收敛. （3） = ==, 原级数收敛. （4） =, 而级数收敛，故原级数绝对收敛. 2. 证明级数 对任何都收敛. 证明： , 而级数 =收敛, 故因比较判别法知, 原级数对任何都绝对收敛. 3. 将循环小数化为分数. 解： = = =. 4. 判定级数的敛散性. 解：因为级数, 而级数收敛，故级数绝对收敛. 第二节 幂级数 思考题： 1. 在收敛区间内幂级数有哪些性质？ 答：幂级数的代数性质有：加法运算性质和乘法运算性质. 幂级数的分析性质有：连续性. 可导性. 可积性，即在收敛区间内：（1）连续，（2）可导，且可逐项求导，（3）可积且可逐项积分. 2. 如何将一个函数展开成幂级数？间接展开法有哪些优点？ 答：函数的幂级数展开可利用直接展开法和间接展开法. 间接展开法与直接展开法比较有以下优点： （1）避免直接展开法中求系数时的复杂运算，而由基本展开式可直接求出, （2）根据幂级数运算保持收敛性不变的性质，由基本展开式可直接求出展开式的收敛区间，因此不必通过求收敛半径等讨论收敛性. 3. 将函数展开成幂级数与将函数在处展开成泰勒级数两句话的含义一致吗？ 答：不一致.将函数展开成幂级数可以在任意处展开，而将函数在处展开成泰勒级数是指将函数在特定的点处展开成幂级数. 4. 计算器上，对函数的求值算法能通过本节所述的知识实现吗？请详细讨论和实验. 答：能. 习作题： 1. 求下列幂级数的收敛域： （1）, （2）. 解：（1）===0, 级数的收敛域为. （2）= = =, 级数的收敛域为. 2. 求幂级数的和函数. 解：设, 两端关于求积分得： == 两端求导得： , 即 . 3. 将展开成的幂级数，并求收敛域. 解：=, 因为 , 所以 =, 其中 ， 即. 当时，级数为发散；当时，级数为发散, 故 = . 4. 以函数的幂级数展开式为基础，分别求出下列函数的幂级数展开式，并写出收敛域. （1）, （2）, （3）, （4）, （5）. 解：（1）==. （2） ==,. （3）== ==, . (4) =, 于是 ==, . (5) =, 于是 ==, . 第三节 傅里叶级数 思考题： 1. 是定义在上的函数, 且满足收敛定理的条件，如何将其展成以为周期的傅里叶级数？ 答：可设，则在上有定义，且满足收敛定理条件，故可展开为以为周期的傅里叶级数. 2. 函数的傅里叶级数展开式是否惟一？设以2为周期的函数，将其在上展开和在[0，2]上展开的以2为周期的傅里叶级数是否相同？为什么？ 答：（1）的傅里叶展开式并不惟一，因为不同的区间上的展开式的系数可能不同. （2）当的周期为时，注意定积分恒等或，其中的周期为2，为任意常数，则可知将在展开和在上展开的傅里叶级数相同. 习作题： 1. 将周期为1的函数展成傅里叶级数. 解：令，则得在上的表达式为 ， ， = ===， ==0 的傅里叶展开式为 2. 把展开成正弦级数和余弦级数. 解: (1)先将延拓为奇函数再作变换, 得 由 ==， 得 =, 且. 令 , 得的正弦级数展开式为 (2) 先将延拓为偶函数再作变换, 得 由 , = = 得 =, , 令 , 得的余弦级数展开式为 , .