线代教案第章行列式.docVIP

行列式（共4学时） 一、教学目标及基本要求 1．了解逆序数的概念 2．掌握阶行列式的定义和行列式的性质 3．掌握行列式的按行（列）展开定理 4．利用行列式的性质和展开定理计算行列式的值 二、教学内容与学时分配 1．预备知识 2．阶行列式的定义 （2学时） 3．行列式的性质 4．行列式的展开 （2学时） 三、教学内容的重点及难点 重点：利用行列式性质及展开计算行列式 难点：行列式的计算技巧 四、教学内容的深化和拓宽 行列式的拉普拉斯展开定理及行列式在实际中的应用，或讲稿中部分结论推广 五、思考题与习题 思考题：见讲稿 作业：2，（2），（4），（6）；3，（1），（3）；7，（1），（3），（5） 六、教学方式与手段 注意行列式定义的引入，应用启发式 讲稿内容 预备知识 为什么要学习行列式呢？因为它是一个很重要的数学工具，在数学的各个分支中都经常用到，比如，用二阶行列式来解二元线性方程组，用三阶行列式来解三元方程线性组等；又如，已知平面的三点，则以这三点为顶点的三角形面积为下面行列式的绝对值： 这一章主要引进行列式的概念并讨论行列式的性质，以及利用行列式的性来计算行列式的值。下面我们利用线性方程组的求解引入行列式的概念。 设有二元线性方程组 可用消元法来解该方程组。 若，则 如果我们定义，称为二阶行列式，横排称为行，纵排称为列，二阶行列式共有二行二列四个元素，其值等于主对角线元素之积与次对角线元素之积的差。这样一来，二元线性方程组的解可简单表示为 其中为方程组未知数的系数所组成的行列式称为方程组的系数行列式； （用方程组的常数项代替系数行列式的第1列） （用方程组的常数项代替系数行列式的第2列） 类似地，我们可用三阶行列式来解三元线性方程组： 定义 且，则 这里的是由三行三列组成的三阶行列式，每个为三阶行列式的一个元素，表示行标，表示列标，行、列的交叉点就是元素。 前面我们定义了二阶、三阶行列式，要引入阶行列式，上面的方法显然是不行的，一方面，行列式的阶数增大，等式右边的项数也必增多，写出所有的项数较困难（阶行列式右边有项），也没有必要；另一方面，等式右端每一项的符号何时取正？何时取负？为此，首先介绍，全排列、逆序数等概念。 把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列，简称排列。如3个不同元素的所有可能排列有： 个不同元素的所有不同排列的个数，称为排列数，通常用表示，如上 如求个自然数的全排列数 在个不同排列中，规定某一个排列为标准顺序的排列，一般地，规定从小到大的排列为标准顺序（标准排列或称为自然排列）。 如果在一个排列中，而在的前面，则说它们形成了一个逆序（或反序），一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，用表示。 如， ， 如，或 又如 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。 定理1 一个排列中，任意两个元素对换排列改变奇偶性。 证明：分相邻对换与非相邻对换两种情形来证明。 情形1：相邻对换 易知经过相邻对换后，中的任何两个元素间的逆序个数没有变化，同时两个元素与元素所形成的逆序总个数也没发生变化， 因此只有两个元素本身之间的逆序的个数发生了变化。 设，则 当时，即不构成逆序，经过相邻对换后，构成逆序，所以。 当时，即构成逆序，经过相邻对换后，不构成逆序，所以。 即不论，还是，经过相邻对换后排列的逆序数不是增加1就是减少1，从而排列的奇偶性发生改变。 情形2：非相邻对换 设其对换过程为 共经过了次相邻对换，所以前后两个排列的奇偶性相反。 推论 奇排列调成标准排列的对换次为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。 有了以的基本概念，我们可以给出阶行列式的定义。 1.2 阶行列式的定义 为了得到阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构，三阶行列式的定义为 （1）等式右端是6项（3！项）之和，其中3项为正，3项为负，每项都是位于不同行不同列的元素的乘积。 （2）每一项各元素的行标排列成，因此右端的任意一项除符号外可写成的形式，其中为123的某个排列。 显然也可把右端每一项的列标排成自然顺序123，而行标写为123的某个排列，即除符号外，行列式的每一项可写为。 （3）行标排列的逆序数为0 带正号项的列标排列为123 312 231 逆序数 0 2 2