经济数学基础讲义 第章 行列式.docVIP

第1章 行列式 1.1 行列式的定义 什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。即称为二阶行列式；有几个概念要清楚，即上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列；一般用表示第行第列的元素，如上例 中的元素： ，，，． 称为三阶行列式，其中第三行为 5 -7 0第二列为–1 2 -7， 元素， 又如 是一个四阶行列式．? 行列式表示的是其元素之间一种特定计算． 再有一个概念是行列式中一个元素的余子式. 如三阶行列式? ， 它的第一行第一列元素的余子式即为划去该元素所在行、所在列，剩下元素所构成的低一阶的行列式，同理， ，代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数． 例：计算三阶行列式 分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和， 二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果． 解： 1.2 行列式的性质 用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的， 利用行列式的性质能够使计算变的比较容易了． 行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质． 在讲这些性质前，先给出一个概念： 把行列式D中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为． 如， 1．行列式的行、列交换，其值不变．如 这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的． 2．行列式的两行交换，其值变号．如， 注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘． 4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如 倍加运算就是把一行的常数倍加到另一行上 例1 计算行列式. 分析：利用性质6， 行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果． 解：== 我们将行列式中由左上角至右下角的对角线， 称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式． 由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积． 同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式． 例2 计算行列式 分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值． 解： = 0 通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零． 例3 计算行列式 分析：利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果． 解： == 行列式 = 按任何一行（列）展开 下面用具体例子说明． = 一个具体的行列式就是代表具体的一个数．再看一个三阶行列式． 可以按任何一行（列）展开 按第一行展开===8 按第三列展开== =8 注意：1．行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开． 2．代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔． 例：计算行列式 分析： 由性质6可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值．因为第二、三行，第四列的零元素都较多，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果． 解：按第三行展开 = = = 1.4 克拉默法则 设个未知数的线性方程组为 ??? （1） 记行列式 ??????????? 称为方程组（1）的系数行列式．将中第列的元素分别换成常数而得到的行列式记作． 克拉默法则1）的系数行列式，那么它有惟一解 ????? （2） 证?2）式分别代入方程组（1）的第个方程的左端的中，有 ???????（3） 将（3）中的按第列展开， 再注意到中第列元素的代数余子式和中第列元素的代数余子式是相同的， 因此有 ??? （4） 把（4）代入（3），有 + … 把小括弧打开重新组合得 因由性质6和性质7 故上式等于，即 下面再证明方程组（1）的解是惟一的．设 为方程组（1）的任意一组解．于是 ?????? （5） 用，，…分别乘以（5）式的第一、第二、…、第n个等式，再把n个等式两边相加，得 根据性质6和性质7，上式即为 因为，所以 证毕 克拉默法则有以下两个推论： 推论1?如果齐次线性方程组的系数行列式， 那么 它只有零解． 推论2?齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式． 例：利用克拉默法则解下列方程组 分析：这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件．克拉默法则的另一个条件是要求系数行列式的值不等于零．因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解． 解：因为系数行列式 且， 所以，