连续介质离散元模型的构建及其应用.pdf

连续介质离散元模型的构建及其应用· 刘凯欣，刘维甫，成名 (北京大学工学院北京) 翦要：本文提出了适用于连续介质力学的离散元理论框架，建立T---维离散元的弹性模型和塑性模型。 进而，通过计算冲击载荷下连续介质的动态响应问题，并将其得到的结果和LS．DYNA软件的计算结果 进行比较，验证了本离散元模型的有效性及其计算程序的计算精度和效率。 关键词：离散元法连续介质冲击 1引言 材料在冲击载荷作用下往往会出现损伤和破坏。此后，材料的计算模型就由连续体过渡到了非连 续体。传统的计算方法对于出现损伤和破坏之后的复杂力学过程不能给出很好的统一解决方案，而具 有散体计算优势的离散元法，通过补充建立在连续介质力学中的理论及算法，就可能在模拟冲击动力 学问题上发挥其优越性。 离散元法是研究岩石、颗粒等非连续介质动力学问题的有效方法，已经在岩土工程和粉体工程中 得到了广泛的应用【l】。但是传统的离散元法的连续介质离散方案缺乏严密的理论基础，计算连续介质 问题时计算精度远远不如有限元法，严重制约了离散元法的广泛应用。因此，人们自然想到建立适用 于连续介质的离散元模型，并且要求达到有限元法的计算精度。当材料发生破坏时，仅将发生破坏的 单元间的连结方式变换为离散元法固有的接触型连结方式，而不必改变单元的排列方式，就可以简单 地实现连续介质向非连续介质的转换。在这个研究领域，Yiwai[21、Moriil3j、本课题纠45J做了一些尝 试，成功地模拟了高速钢弹穿透混凝土板的过程，六面体和圆柱体混凝土试件的压溃过程等发生连续 介质向非连续介质转变的动力学问题。但是，目前的连续介质离散方案既缺乏严密的理论基础又没有 根据建模的需要而实现在排列上的灵活性。建立适于连续介质的离散元模型的理论框架并提出实用有 效的离散元模型已成为急需解决的问题。 本文从能量等效原理出发，提出了适用于建立求解连续介质动力学问题的离散元模型新方法及其 相应的求解路径。在此基础上，本文提出了几种离散元模型。最后，考察了这几种模型的算例，将得 到的部分计算结果和LS。DYNA的计算结果进行了比较，验证了本离散元模型的准确性及其计算效率。 2连续介质的离散元模型 2．1连续介质的离散元离散 离散元法的实质是采用单节点的物理元进行区域剖分并在物理元问使用具有明确力学意义的连 接元件而建立的有限离散数值方法。其关键在于使连接元件同材料的力学参数建立有效的对应关系。 以平面应力问题为例，可将平板离散成用连接元件连接的刚体圆盘单元的集合。如图l所示，可能的 圆盘的紧凑排列形式有图中A、B两种，A称为七圆盘模型，B称为九圆盘模型。图中c为任意圆盘 排列模型，由于该模型不适于求解连续介质的力学问题，在本文中不予考虑。连接于圆盘问连接元件 在弹性阶段时为法向弹簧和切向弹簧，在塑性阶段时除了弹簧还有塑性元件。 弹性元件是解决弹性问题的基本连接元件，其参数为弹簧的弹性系数屯(法向弹簧的弹性系数) 和颤(切向弹簧的弹性系数)。采用虎克定律的本构关系，则弹簧系数应该由弹性模量和泊松比直接得 到。并且进入塑性之后，弹簧系数不会发生变化。 ‘国家自然科学基金资助项目 135 图1基于圆盘单元的离散元模型 塑性元件是为了解决塑性问题而创立的连接元件，是以法向塑性位移％P、切向塑性位移蚝P及其 对应的塑性功矽P为主要参数。如图1所示，当材料进入塑性变形阶段时，圆盘问除了原来的弹性元 件，还要增加塑性元件。这时位移可以分解为弹性位移和塑性位移U。=“：+”：，U。=U；+“多。 2．2弹簧系数的确定 如图1所示，以图中的f圆盘为研究对象，用与f圆盘连接的全部法向弹簧和切向弹簧的弹性势 能来表示单位体积的变形能‘6】 ∽=吉∑{[执{『(‰一Idn。)2+{％(％一usi)2] (1) 式中吒Ⅱ、tⅡ分别是连结i单元和，单元的法向弹簧系数和切向弹簧系数；”。，、U豇分别是f单元的 法向位移和切向位移；U。，、U耵分别是，单元的法向位移和切向位移。 使用相对位移与应变之间的关系式，可以将式(1)变为 ∽=瓦1÷p【．％‘2(勺2气+％2勺+?：f『％％)2+批西12(2lomo．(ey,一％)+(10．2-mi,．2)2％)2](2) 其中E是i圆盘的半径。口为x轴与弹簧法向方向的转角，，=cos(a)，m=sin(a)。 不同的圆盘排列方式，将其对应的，，m值代入式(2)便可得到该模型对应的单位体积变形能U2。 又有平面应力各向同性材料单位体积的变形能公式 矿=丽缶(《+弓+2峨q+Tl-It％2，- (3) 其中E为弹性模量，v为泊松比。 由于式(2)和(3)表示的单位体积的变形能U相等，即U‘=U。，对比两式各项系数，得到弹簧系 数的表达式。 对于七圆盘模型： 对于九圆盘模型： (4) knl嵩