统本土木 姚琦 .docVIP

知识点总结 高等数学2 、重点 ①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面； ④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角； ⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）， 两直线的夹角、直线与平面的夹角； 2、难点 ①向量积（方向）、混合积（计算）； ②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形； ③空间曲线在坐标面上的投影； ④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；） ⑤平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥直线方程的几种表示方式之间的转化； 二、基本知识 1、向量及其线性运算 ①向量的基本概念： 向量? 既有大小? 又有方向的量； 向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量? 有向线段的长度表示向量 的大小? 有向线段的方向表示向量的方向.； 向量的符号? 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB? 向量可用粗体字母 表示? 也可用上加箭头书写体字母表示? 例如? a、r、v、F或a、r、v、F； 向量的模? 向量的大小叫做向量的模? 向量a、a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|? 单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量； 向量的平行? 两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行? 向量a与b 平行? 记作a // b? 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线? 零向量? 模等于0的向量叫做零向量? 记作0或0? 零向量的起点与终点重合? 它的方向 可以看作是任意的? 共面向量： 设有k(k?3)个向量? 当把它们的起点放在同一点时? 如果k个终点和公共起点在一个平面上? 就称这k个向量共面； 两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时? 两个向量之间的不超过?的夹 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1/39 角称为向量a与b的夹角? 记作(a,^ b)或(b,^ a)? 如果向量a与b中有一个是零向量? 规定它们的夹角可以在0与?之间任意取值?； ②向量的线性运算 向量的加法（三角形法则）：设有两个向量a与b? 平移向量使b的起点与a的终点重合? 此 时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和? 记作a+b? 即c?a+b . ? 平行四边形法则? 向量a与b不平行时? 平移向量使a与b的起点重合? 以a、b为邻边作一 平行四边形? 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a?b? 向量的加法的运算规律?? (1)交换律a?b?b?a? (2)结合律(a?b)?c?a?(b?c)? 负向量? 设a为一向量? 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量? 记为?a? 向量的减法??把向量a与b移到同一起点O? 则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差b?a ? 向量与数的乘法： 向量a与实数?的乘积记作规定?a是一个向量? 它的模|?a|?|?||a|? 它 的方向当?0时与a相同? 当?0时与a相反? 当??0时? |?a|?0? 即?a为零向量? 这时它的方向可以是任意的? 运算规律? (1)结合律 ?(?a)??(?a)?(??)a； (2)分配律 (???)a??a??a；?(a?b)??a??b? 向量的单位化? 设a?0? 则向量a是与a同方向的单位向量? 记为ea? ，于是a?|a|ea? |a| ? 定理1 设向量a ? 0? 那么? 向量b平行于a的充分必要条件是? 存在唯一的实数?? 使 b ? ?a? ③空间直角坐标系 在空间中任意取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k? 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴? 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)? 统称为坐标轴? 它们构成一个空间直角坐标系? 称为Oxyz坐标系? 注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位? (2)通常把x 轴和y轴配置在水平面上? 而z轴则是铅垂线? (3)数轴的的正向通常符合右手规则?? 坐标面? 在空间直角坐标系中? 任意两个坐标轴可以确定一个平面? 这种平面称为坐标面? ? x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面? 另两个坐标面是yOz面和zOx面? 卦限? 三个坐标面把空间分成八个部分? 每一部分叫做卦限? 含有三个正半轴的卦限叫做 第一卦限? 它位于xOy面的上方? 在xOy面的上方? 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限? 在xOy面的下方? 与第一卦限对应的是第五卦限? 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限? 八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、