迭代函数系统IFS及其应用.pdf

12 数学技术应用科学 Mathematics Science TechndogyApplied 迭代函数系统(Ivs)及其应用· 赵选泽，张仁津，华梦霞 (贵州师范大学数学与计算机学院，贵州贵阳550001) 摘要：分形理论是研究非线性科学中不规则图形的强有力的工具，而迭代函数系统理论是研究不规则图 形的一把钥匙．本文首先讨论了迭代函数系统理论及其一些重要拓展，然后着重介绍了它们在生成分形图形方 面和分形图像压缩方面的一些重要应用． 关键词：分形；仿射变换；迭代函数系统；压缩映射 中图分类号：TP31文献标识码：A文章编号：7-5416—2336-9(2006)-0012-03 分形理论被誉为20世纪70年代科学的三大其中口，6，c，d，e／为实数，则称形为一个(二维)仿 重要发现之一，由于它研究的对象是欧氏几何所不 射变换． 能胜任的，并且以其独特的思想方法使数学基础及 定理1(吸引子定理)设{X，02i；i=1，2，…， 其应用都得到了空前的发展，成为现代非线性科学 Ⅳ}为一压缩因子为c的IFS，0Cl，则对在空 研究中十分活跃的一个数学分支，是研究非线性科 间Ⅳ((x)，危)上定义的变换形 学中不规则图形的强有力的工具． Ⅳ (T∈I-I(X))有 形(r)=∑02i(丁) 虽然至今分形仍然没有一个严格的定义，但是 一般认为：分形是具有精细的、不规则的、某种自相 (1)形为一压缩映射，且压缩因子为c，即对任 似性的、维数通常大于其拓扑维的、定义简单的或 意的F。，已EH(x)，满足 许可以递归的复杂结构的集合．它给我们传递了一 Ijl(形(正)，形(正))≤c·h(正，疋) 个重要信息：具有某种自相似性．这种自相似性是 (2)存在惟一的不动点集A∈H(X)，即A= 指无论几何尺度如何变化，景物的某一部分的形状 都与较大部分的形状极其相似，它不是临近像素的 得到，亦即： 相关性，而是图像大范围的相似性，即图像块的相 A=limW(％) 似性．对相似性的描述是通过仿射变换或递归函数 一般情况下，A为分形，称A为迭代函数系{x， 来确定．这给迭代函数系统的产生创造了条件． 02i；i=1，2，…，Ⅳ}的的吸引子． 1迭代函数系统(IFS)理论 定理2(拼贴定理)设(x，d)是一完备度量 定义1 设(x，d)是一度量空间，一个迭代函 矾，阢，％，…，矾}，其压缩因子0≤sl，以至于 Function 数系统(IntergeteSystem简称IFS)是 N (X，d)上的一组压缩映射∞；：X_x(i=I，2，…， h(L，∑取(￡))≤8， Ⅳ)．∞f的压缩因子为Ci，0≤cil称e=max{c1， 其中h(d)是Hausdorff度量．则 c：，…，cⅣ}为此，耶的压缩因子． h(L，A)≤_L， 定义2(仿射变换)变换W：R2一只2具有形 i一3 式为 其中A是这个伊．s的吸引子，等价地