考点 立体几何中的向量方法(理)(教师版) 新课标.docVIP

2013年新课标数学40个考点总动员 考点27 立体几何中的向量方法（理）（学生版） 【高考再现】，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） （A） （B） （C） （D） 2.(2012年高考四川卷理科14)如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________。 5.(2012年高考上海卷理科19)（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求： （1）三角形的面积； （2）异面直线与所成的角的大小. 6.(2012年高考浙江卷理科20) (本小题满分1分的菱形，且∠BAD＝120°，，M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD； (Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值． （Ⅰ）求证：BD⊥平面AED； （Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。 8.(2012年高考辽宁卷理科18) (本小题满分12分) 如图，直三棱柱，， 点M，N分别为和的中点. (Ⅰ)证明：∥平面; (Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值. 9(2012年高考江西卷理科19)（本题满分12分） 在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。 （1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长； （2）求平面与平面BB1C1C夹角的余弦值。 10.(2012年高考新课标全国卷理科19)（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，， 是棱的中点， （1）证明： （2）求二面角的大小。 【方法总结】 1．利用向量法求异面直线所成的角时，注意向量的夹角与异面直线所成的角的异同．同时注意根据异面直线所成的角的范围(0，]得出结论． 2．利用向量法求线面角的方法 一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； 二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 3．利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． 4．利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角． 热点二 求距离问题 11.(2012年高考全国卷理科4)已知正四棱柱中，为的中点，则直线 与平面的距离为（ ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【解析】连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,,,所以利用等积法得，选D. 12.(2012年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_______13.(2012年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，丄平面， 丄，丄，，，. (Ⅰ)证明：丄； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为， 求的长. 【解析】（1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系 则（lby lfx） （2），设平面的法向量 则 取 是平面的法向量 得：二面角的正弦值为 （3）设；则， 即 14.(2012年高考重庆卷理科19)（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分） 如图，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点 （Ⅰ）求点C到平面 的距离; （Ⅱ）若,求二面角 的平面角的余弦值。 热点三 折叠问题 15.(2012年高考安徽卷理科18)（本小题满分12分） 平面图形如图4所示，其中是矩形，，，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。 。 （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求的长； （Ⅲ）求二面角的余弦值。 【考点剖析】1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 3.能用向量方法证