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考研级数难点 级数（8~10） 一、重要概念、公式 （一）数项级数 1、绝对收敛，条件收敛 注： 收敛，则称绝对收敛； 收敛，发散，则称条件收敛 2、性质： （1）若收敛，其和为为常数，则 也收敛，且其和为 （2）若级数分别收敛于 和 ，则也收敛，且收敛于 注： 如一发散，一收敛，则其代数和发散； 如两发散，则结论不一定 （3）在级数前面增加、减少或改变有限项，并不影响其敛散性，但级数收敛时，仅可能改变其和 （4）收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛，且其和不变 注： 一个级数加括号所得新级数收敛，并不能说明原级数是否收敛； 但加括号发散，原级数一定发散 （5）若级数收敛，则 注：若，则发散 3、定理及审敛法 （1）正项级数收敛 部分和数列 有界； （2）比较审敛法： 设都是正项级数： 、若从某项起，有 且 收敛，则也收敛； 、若从某项起，有且发散，则也发散 设是两个正项级数，且，则同敛散 注：对于正项级数可利用等价无穷小代换，只能用在(正项或负项)级数 （3）比值审敛法：设有正项级数，若，则： 当时，级数收敛； 时，级数发散 注：含或的乘积形式 （4）根值审敛法：设有正项级数，若，则： 时，级数收敛； 时，级数发散 注：含以为指数的因子 （5）交错级数审敛法：若交错级数满足：； ， 则该交错级数收敛，且其和，其余项的绝对值 （6）绝对收敛定理：若收敛，则也收敛 注： 改变绝对收敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且与原级数有相同的和； 设级数都绝对收敛，它们的和分别为 和 ，则它们逐项相乘后，依任意方式排列所得级数仍绝对收敛，且其积为 4、公式： （1）：时收敛，时发散； （2）：时收敛，时发散； （3）：时收敛，时发散； （二）函数项级数 1、基本概念： （1）定义： （2）和函数： （3）幂级数：敛半径，收敛区间 （4）泰勒级数：如果存在各阶导数，则称为泰勒级数 2、定理公式： （1）阿贝尔引理：若幂级数：当时收敛，则对的，；当发散，则对的，发散 注：收敛点是连成一片的 （2）设是幂级数的收敛半径，且： 当时，； 时，； 时， （3）幂级数的分析运算性质：设幂级数，其收敛半径为，则： 和函数在内连续； 和函数在内可导，且； 和函数在内任何区间上可积，且 注：逐项求导，逐项积分并不改变收敛半径，但可改变端点的敛散性 （4）几个重要的麦克劳林展开式： ； ； ； ； ； （5）泰勒定理：设在点的某个邻域内具有任意阶导数，则在处的泰勒级数在该邻域内收敛于的充要条件是：当时，在点的泰勒级数余项 注：在点的幂级数展开式 （三）付立叶级数 1、基本概念 （1）三角级数：形如 （2）正交：对于在上有定义，如果，则称正交 （3）付立叶系数： 是周期为的周期函数：则， 在上以为周期：， 在上：， （4）付立叶级数：以付立叶系数构成的三角级数 付立叶级数 （4）正弦级数、余弦级数（奇偶延拓） 只含正弦项的级数 正弦级数； 只含余弦项的级数 余弦级数 注：奇延拓正弦 即：奇函数正弦 偶延拓余弦 偶函数余弦 2、定理 如在上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）至多有有限个极值点,则的付立叶级数在上收敛， 且： 为的连续点， 为的间断点， 为的端点，, 二、重要考点 1、判定级数审敛法 ⑴判定 不等于0 发散。 ⑵判断是否为正弦级数，是 按正项级数审敛法。 ⑶ ⑷交错级数审敛法及运用性质讨论 注： 不具体一般用定义性质讨论。 对于正项级数的敛散性，常用台勒展开及等价无穷小代换讨论。 2 求极限： 3、求函数项级数的收敛区间、收敛域、收敛半径，其一般步骤为：（注：函数不具体一般考虑阿贝尔引理） 由，解出x的取值范围（a，b）。 讨论在端点的敛散性。 给出结论。 若的收敛域是,则 的收敛半径是. 4、求数项级数的和，其步骤为： 构造幂级数，求出其收敛域 利用幂级数的分析运算性质，求出幂级数的和函数 代值计算 注：整理逐项求导，整理逐项积分， 5将函数展开成的幂级数的一般步骤： 作代换； 利用求导、积分、代换整理化简将展开为u的幂级数； 将代入即得。 6求其步骤 求的幂级数展开式 由的系数， 7函数的付立叶级数展开，其步骤： 判定f(x)的周期性、奇偶性 计算付立叶系数 写出付立叶级数，并由狄利克雷定理写出其和函数S(x) 如要求某个数项级数的和，则在s(x)中令x取某个特殊值。 微分方程（8~12） 一、重要概念、公式 1、如果、是二阶线性齐次方程：的两个解， 则也是它的解，其中是任意常数； 2、如果是的两个线性无关的解， 则就是该方程的通解； 3、如果是二阶非齐次线性方程：的一个特解，而是它对应的齐次方