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2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ，其中，则当时，是（ ） （A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小 （C）与同阶但不等价的无穷小 （D）与等价的无穷小 （2）设函数由方程确定，则（ ） （A） （B） （C） （D） （3）设函数，，则（ ） （A） 是函数的跳跃间断点 （B） 是函数的可去间断点 （C）在处连续但不可导 （D）在处可导 （4）设函数，若反常积分收敛，则（ ） （A） （B） （C） （D） （5）设，其中函数可微，则（ ） （A） （B） （C） （D） （6）设是圆域在第象限的部分，记，则（ ） （A） （B） （C） （D） （7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价 （8）矩阵与相似的充分必要条件为 （A） （B） （C） （D） 二、填空题：9(14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) (10) 设函数，则的反函数在处的导数 ． (11)设封闭曲线L的极坐标方程为，则L所围成的平面图形的面积为 ． (12)曲线上对应于的点处的法线方程为 ． (13)已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件的解为 ． （14）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 当时，与为等价无穷小，求与的值。 （16）（本题满分10分） 设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。 （17）（本题满分10分） 设平面内区域由直线及围成.计算。 （18）（本题满分10分） 设奇函数在上具有二阶导数，且.证明： 存在，使得；（）存在，使得。 （19）（本题满分11分） 求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。 （20）（本题满分11分） 设函数， 求的最小值 设数列满足，证明存在，并求此极限. （2）（本题满分11分） 设的方程为， 求的 （2）设，直线及轴所围平面图形，求的形心的横坐标。 （22）（本题满分11分） 设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。 （23）（本题满分11分） 设二次型，记。 （I）证明二次型对应的矩阵为； （II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学试题一、选择题18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线的渐近线条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数，其中为正整数,则 ( ) (A) (B) (C) (D) (3) 设，则数列有界是数列收敛的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 (4) 设则有 ( ) (A) (B) (C) (D) (5) 设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是