考研辅导线性代数第章行列式.docVIP

第一章 行列式 ◆ 基础知识概要 1.阶行列式的定义 二阶行列式 . 三阶行列式. . 对角线法则： 阶行列式的定义 , 它是取自不同行不同列的个数的乘积的代数和（共项），其中各项的符号为，代表排列的逆序数，简记为. 阶行列式也可定义为，其中为行标排列的逆序数. 例1.1 计算行列式 （1）； （2）. 练习：计算下列行列式 （1）； （2）（上三角形行列式）； （3）（下三角形行列式）. 2. 行列式的性质与计算 2.1行列式的性质 （1）行列式与其转置行列式相等； （2）互换行列式的某两行(列)得到新行列式则新行列式应反号； 特别地：若行列式中有两行(列)对应元素相等，则行列式等于零； （3）行列式中某一行(列)的所有元素的公因数可以提到行列式的外面； 即以数乘以行列式等于用数乘以行列式的某一行或某一列； 特别地：若行列式中有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零； （4）行列式中如果有某两行(列)对应元素成比例，则行列式的值为零； 特别地：比例系数为1 （5）若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如，第列的元素都是两数之和： ， 则等于如下两个行列式之和： . （6）把行列式的某一行(列)的各元素的倍加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变. 注：（1）交换行列式的第两行（或列），记作（或）； （2）第行（列）提出公因子，记作（或）； （3）以数乘第行（列）加到第行（列）上，记作（或）. 范德蒙（Vandermonde）行列式 注 右边是“大指标减小指标”. 例1.2 计算行列式 .（答：） 练习：计算行列式 （1）；（答：40） （2）；（答：48） (3) ；（答：160） （4）；（答：） （5）；（答：） （6）；（答：） （7）； （8）. 2.2行列式依行（列）展开 余子式： ，代数余子式： 定理1.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ， 或 . 注：此定理的主要作用是——降阶. 推论 行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式乘积之和等于零，即 ， 或 . 例1.3 用降阶的方法解例1.2. 练习：用降阶的方法求解上面练习第（1）题. 例1.4 设，求 （1）； （2）. 解 （1）. （2）因为的大小与元素无关，因此， . 练习： （1）设，则（a）？（b）（c） （答：0，0，0）分别为行列式 中元素的余子式和代数余子式，试求 （a）； （b）； （c）. 2.3拉普拉斯（Laplace）展开定理 定义 在一个阶行列式中，任意选定行（比如第行）和列比如列）（）.位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的位置组成一个阶行列式，称为行列式的一个阶子式，记作，划去行和列后余下的元素按照原来的位置组成的阶行列式，称为阶子式的余子式，记作.在余子式前面加上符号后被称之为的代数余子式.记作 ， 这里. 定理1.2 在阶行列式中，任意选定列，则 . 类似地，任意选定行，则 . 证 （略） 注 这是定理1.2的推广，它仍然是一种——降阶的思想. 例1.4 在行列式 中取定1，2行，得到6个子式 ， ， ， ， ， . 对应的代数余子式分别是 ，， ， ， ，. 由Laplace展开定理可知 . 例1.5 证明 . 证 由Laplace定理展开，选定第行，得 . 注 例1.5的结论可以简记为 . 练习：1.计算 （1）； （2）. 2. 设A为n阶方阵，，B为m阶方阵，，则为（ ） （A） （B） （C） （D）阶行列式 解法1 . 解法2 ①如果，则 ②如果，则 . 综合①、②有：. 例1.7 计算行列式 . 解 按第一列展开， 又， . 例1.8 计算 . 解法1 依第一行展开 , 解法2 利用Laplace展开定理，选定第1行和第行展开，则 练习：计算n阶行列式 （1）；（答：） （2），其中；（答：） （3）；（答：） （4）； （5） 考研辅导《线性代数》教案-1 - 9 -