自主招生数学不等式 第三讲.docVIP

自主招生学案：不等式第三讲 （2013年12月24日枣庄八中陈文) 考点三：重要不等式 一、考点分析：自主招生考试中所考的重要不等式主要包括绝对值不等式、均值不等式、柯西不等式、琴生不等式等。 二．不等式求解的常见题型： 1、利用不等式证明结论。 2．利用不等式解决数学建模问题。 3．借助不等式求最优解问题。 4．不等式的综合问题。 三、例题详解及梯度训练： （一）绝对值不等式 从不等式的背景可以看到，许多不等关系都涉及距离的长短、面积或体积的大小、重量的大小等等，他们都要通过非负数来表示，因此，研究含有绝对值的不等式具有重要意义。 定理1： 如果a，b都是实数，则等号是否成立依赖与ab的符号。 定理2： 如果a，b，c都是实数，那么 当且仅当时，等号成立 例1．如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个火车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在P的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？ (2010年浙江大学) 梯度训练： 1.若对一切实数x，都有|x-5|+|x-7|a，则实数a的取值范围是（ ） A．a12 B. a7 C. a5 D. a2 (2011年复旦大学) 2.|x-5|+|x-7|+|x-6|+|x-8|a，则a的取值范围如何？ （二）平均值不等式 设，记这n个数的 调和平均值， 几何平均值， 算术平均数， 方幂平均数 则，当且仅当时等号成立。 例2．设正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：。 （2008年南京大学） 推广1： 推广2： 梯度训练： 1.设n为正整数，求证：。 （2008年山东大学） 2.已知已知函数令。 （1）求数列的通项公式；（2）证明： 三、柯西不等式 对于任意的两组实数，有 当且仅当时成立 当都为正实数时，等号成立的条件可以改写为 例3.证明柯西不等式。 （2009年华东师范大学） 梯度训练： 1.设实数a，b，c满足 （2008年西安交通大学） 2.设a，b，c为正实数，且a+b+c=1，求的最小值。 （2008年南开大学） （四）排序不等式 设的任意排列，则 当且仅当时，等号成立 例4.有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i（i=1,2，…10）个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同。问只有一只水龙头时，应如何安排10个人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 梯度训练： 设是n个互不相等的正整数，求证： （五）琴生不等式 1.凸函数： （1）下凸函数：一般地，设f（x）是定义在（a，b）区间上的函数，如果对于定义域内的任意两个数都有，则称f（x）是（a，b）内的下凸函数. （2）上凸函数：一般地，设f（x）是定义在（a，b）区间上的函数，如果对于定义域内的任意两个数都有，则称f（x）是（a，b）内的下凸函数. 2.凸函数常用的性质： 性质1：（琴生不等式）：对于（a，b）内的下凸函数f（x），有 性质2：（加权琴生不等式）：对于（a，b）内的下凸函数f（x），若，则 注：对于上述两个关于凸函数的性质，我们将“”改为“”，即得上凸函数的琴生不等式。 例5.已知A,B,C是锐角三角形⊿ABC的三个内角，求tanA+tanB+tanC的最小值。 （2010年北京科技大学） 1