递归序列与Schur函数Recurrent+Sequences+and+Schur+Functions.pdf

南开大学 硕士学位论文 递归序列与Schur函数 姓名：穆彦平 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：陈永川 递归序列与Schur幽数 穆彦平 摘要 对称函数理论在许多数学分支中具有重要的应用，例如组合计数、群论、 李代数、代数几何等．Schur函数是一类最重要的对称函数，起着核心作用． Vandermonde行列式在对称函数理论中也占有重要的地位，在证明、验证时非 常有用．同时，对称函数理论与递归序列理论之间的相互联系给我们提供了一 行列式与Schur函数关系等式证明过程的研究，以及随后讲授的递归序列的 定义，建立了一类特殊的行列式(称之为“递归行列式”)与$chur函数之间 的联系，其中递归行列式是指行列式的行向量或列向量是一些不同的递归序 列．但这些序列具有相同的特征多项式．本文证明了下标相同的递归行列式 和Schur函数是成比倒的．因此，可以用对称函数研究递归行列式，反之亦 然．本文共分为五节，简介如下： 第一节介绍了对称函数和递归序列的一些基本概念． 第二节给出了Sehur函数和递归行列式的关系公式(定理2．2，推论 24)。这一关系是本文的基础．由此可以得到若干关于Schur函数的有趣的 等式，例如Schur函数的经典定义和Schur函数乘积公式． 第三节给出了Schur函数与混合递归行列式的关系(推论3．2)，令人惊 奇的是混合递归行列式之比与前m行无关． 第四节通过将由完全对称函数组成的递归序列扩展到负指数方向(引理 41)，给出了Schur函数的推广定义(△，J)，得到了Schur函数与△，』的 关系公式(性质43)，并对△，．J做了进一步的研究，得到～些与第二节类 似的结论．最后还导出了△jJ的分解公式和skew形式(性质4．6)． 第五节给出了一些与对称函数的piethysm有关的递归序列，例如新序列 特征多项式的根是原来特征多项式的根的齐次幂．从而给出了构造新递归序 列的一种方法(定理5．1)。 关键词递归序列。持征多项式，Schur函数 递归序列与Schur函数 穆彦平 Abstract The of functiottshas toenunlerative theorysymmetric ulanyapplications wellas suchother of to branchesmathematicsas combinatorics，as grouptheory, Lie A of functions kind algebras，andalgebraicgeometry importantsymmetric actsas isSchur a role．Vandermondedeterminantalso functions，which key plays is in Atthesame an role．whichuseful and important very proving checking