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本科生毕业论文 题 目 凸函数的几个等价定义 系 别 数理学院 班 级 082班 姓 名 苏明 学 号 074131230 答辩时间 2012 年 5 月 新疆农业大学 数理 学院 目 录 摘要……………………………………………………………………………………1 1凸函数的定义………………………………………………………………………3 2凸函数的等价定义和性质…………………………………………………………3 2.1凸函数的等价定义………………………………………………………………4 2.2凸函数的性质……………………………………………………………………7 3凸函数等价定义和性质的应用举例………………………………………………9 3.1一些集合上的凸函数举例………………………………………………………9 3.2运用凸函数等价定义证明不等式………………………………………………10 总结……………………………………………………………………………………13 参考文献………………………………………………………………………………14 谢辞……………………………………………………………………………………15 凸函数的几个等价定义 作者：苏明 指导老师：李盈科 摘要:凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明等几个方面的应用。 关键词：凸函数；等价性；不等式 凸函数是一种性质特殊的函数，在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。本文从凸函数的定义出发,为凸集， ．如果对于中任意两点与，以及任一实数， 恒有 则称是凸集上的严格凸函数。 　　注：若是严格凸函数，则称是严格凹函数，凹函数也可由上述定义的反向不等式来定义。 　　下图中的和分别是一元凸函数和二元凸函数的直观形象, 2 凸函数的等价定义和性质 函数的凸性与函数的连续性、函数的导数之间存在着密切的联系，为叙述方便起见，下面只限于讨论一元凸函数的性质。 2.1 凸函数的等价定义 定义2 设是定义在区间上的函数，若对上的任意两点,,恒有 则称为上的凸函数。 定义3 若在定义上成立不等式（≠） 则称是上严格的凸函数。 定义4 下面几个定义等价： （1）为区间上的凸函数； （2）对令，则 于是有 ； （3）对 ，有 ； （4）对，有 ； （5）对，使得 。 定义5 如果在上一阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是： 在上单调递增， 的图形在某任一点的切线的上方。 定义6如果在上二阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是： 。 定义7 可微函数：是凸函数的充要条件是：作为在中任一直线上的一元函数满足单调增。 定义8 设是非空开凸集，是定义在上的二次可微函数，则 是凸函数的充分必要条件是：在的每一点Hesse矩阵半正定, 其中 为Hesse矩阵。 定义9 为上的连续凸函数的充分必要条件是：为凸集（水平集）。 定义10 在上是凸函数的充分必要条件是：对任意定义于上，值域的可积函数，有 ， 只要右边有意义。 2.2 凸函数的性质 性质1 设在区间上为凸函数，对任意，则: 时，在区间上为凸函数; 时，在区间上为凹函数。 性质2 设，是间上的凸函数，则其和 也是上的凸函数。 性质3 若设，是间上的凸函数