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范德蒙行列式的应用 摘要 行列式是线性代数的主要内容之一，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，有着很重要的作用。而n阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。 关键词：行列式；范德蒙行列式；向量空间理论；线性变换理论；微积分  VANDERMONDE DETERMINANT OF APPLICATIONS ABSTRACT The determinant is one of the main contents of linear algebra, which is the follow-up course of linear equations, matrixes, vector spaces and linear transformation of the base, has a very important role. The n-order Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. Its proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations, describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus. Key words: linear algebra， Vandermonde determinant， theory of vector spaces， linear transformation theory， infinitesimal calculus. 第一章 绪 论 1.1 引言 我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法.形如行列式 (1) 称为n 阶的范德蒙（Vandermonde）行列式. 我们来证明，对任意的 阶范德蒙行列式等于 这n 个数的所有可能的差（1≤j＜i≤n） 1.2 范德蒙德行列式的证明 1.2.1 用数学归纳法证明范德蒙德行列式 我们对作归纳法. （1）当时， 结果是对的. （2）假设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情况.在 中，第行减去第行的倍，第行减去第行的倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的倍，有 ()()() 后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差（2≤j＜i≤n）；而包含的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明. 用连乘号，这个结果可以简写为 由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是 这n个数中至少有两个相等. 1.2.2 用定理证明范德蒙德行列式 已知在级行列式 中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积 ，在 = 中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得 = 根据上述定理 = 提出每一列的公因子后得 =