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中学代数研究 1、证明与的和是无理数。 证（反证法）假如与的和是一个有理数a，即，则。因为全体有理数成为一个域，对减法运算封闭，所以差仍是有理数。此与是无理数矛盾，所以与的和是无理数。 2|、在中，为角所对的边，求证 （提示：可用排序不等式证明） 解：不妨设，由排序不等式，得三式相加得，，即 证毕。 3、设为正数且各不相等，求证： （提示：可用柯西不等式证明） 证：待证不等式化为，根据柯西不等式，左端= 又a,b,c各不相等，因此等号不成立。原不等式得证。 填空题 1、在代数发展史中，根据代数所研究的数学对象的不同，可将代数分为--------------与----------------。 2、中国传统的中学代数体系，主要内容有：------------,--------------,-------------,--------------,----------------。 3、在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的-----------------. 4、布尔巴基学派认为数学有三种基本的结构：-------------,----------------,--------------。 5、自然数公理系统直接地保证了------------------的合理性。 6、自然数有两种属性，一是----------属性，一是-------------属性。 7、有理数集是一个可数集，就是说它能与自然数集建立----------------关系。 8、任意两个不同的有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数集具有………………。 9、无理数有三种不同的定义方法：-----------------------，--------------------,---------------------。 10、复数的棣莫弗公式是-------------------。 填空答案 1、古典代数，近世代数 2、数和数系，方程，函数，不等式，数列 3、直观理解 4、代数结构，序结构，拓扑结构 5、数学归纳法 6、基数，序数 7、一一对应 8、稠密性 9、无穷小数说，康托的基本序列说，戴德金分割说 请举例解释有理数集虽然是稠密的，但不具有完备性（或连续性）。 答：一个数集是完备的是指，对于任意该数集的序列，如果有极限存在，则该极限一定属于该数集。但对有理数列，它的极限为e不是有理数，故有理数集具有不完备性。 怎样科学的描述无理数幂。 答：用有理数区间套等来描述。 2、 5？ 孙子定理：设是个两两互素的正整数，是任意给定的整数，那么一元同余式组 必有一解，且解数为1。 孙子定理的解法原则或证明是通过先构造“单因子构件”，然后凑出结果所要求得的构件。这一原则在插值理论、算子理论中都有体现。比如拉格朗日插值理论就体现了这一原则。 3、试用柯西不等式求平面上一点到一直线的距离公式 3、试用柯西不等式求平面上点到直线的距离公式。 答：由柯西不等式， 有因为,故有， 证明题 1、求 答;可用棣莫佛公式求解，得， 2、证2、证明。并给出几何意义。 答： 几何意义可用向量，也可用平面三角形余弦定理解释。 3、数列为一给定的有限数列，试给出数列的通项公式。 答：可用拉格朗日插值法易得（参见教材133页）。 1