论文 函数凸性证明不等式的应用.docVIP

函数凸性在证明不等式中的应用 摘 要 本文首先从解析定义、几何解释和直观描述性定义三个方面介绍了凸函数的定义；随后揭示凸函数的判定定理和凸函数的性质，其中重点把握凸函数的Jensen不等式。在此基础上，建立凸函数框架统一证明初等不等式，并推证一些著名不等式，如Holder不等式等，显示出函数凸性在不等式证明中的重要性；最后进一步研究函数凸性在几何和三角函数不等式中的精巧妙用，以及在数学分析中的应用。 关键词：函数凸性 证明不等式 Jensen不等式 函数凸性证明不等式的应用 1 凸函数的定义 函数凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凸性定义的更一般的三种形式。 1.1解析定义 1.1.1定义 设定义在上。，，及，恒有 , ⑴ 则称为上的凸函数，并称曲线在上是上凸的；如果不等号的方向相反，那么称函数在上是下凸的。 若不等式当且仅当时成立，则称是在上的严格凸函数。 1.1.2定义 设函数在上连续，，,有 ， ⑵ 那么称函数为上的凸函数，并称函数在上是上凸的；如果不等号的方向相反，那么称函数在上是下凸的。 注:若为区间上的下凸函数，则为区间上的凸函数。从而上凸函数特征的讨论对下凸函数也适用。 定义2是定义1中仅取时的情形，从而定义2的条例弱于定义1。 1.2几何解释 1.2.1上凸函数是描述平面所定义区域上一条“上凸曲线”，图象的任一弦上的某点，在对应的弧上的点的下侧如（图1） 图1 同理，下凸函数的情况只是反向的，即。 1.2.2在初等数学中，函数的凸性可根据图象来判定，如图1-2所示，在上是上凸的，而在上是下凸的。 图 2 1.2.3在数学分析中函数的凸性是由函数的二阶导数的符号来判定的：对任意的， 如果0，那么在上是上凸的； 如果0，那么在上是下凸的。 1.3直观描述性定义 1.3.1如果某函数图像上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方，则相应的函数称为凸函数。 1.3.2如果一个函数的图像上任一点的切线都在图像下方，则相应的函数是凸函数。 2 函数为凸的必要充分条件（即判定定理） 2.1函数为凸的必要充分条件 设是凸集上的凸函数的充要条件是对任意的，，单变量函数是上的凸函数。 证明：(1)充分性：设g()是[0，1]上的凸函数，取，，则对1，有，即 故为上的凸函数。 （2）必要性：设为S上的凸函数，假定，，Ol， 欲证，令，，则 ，， 由的凸性，，即。 2.2凸函数的判定定理 2.2.1定理 设在内有二阶导数，则为凸函数的必要充分条件是 。 证明：先证0，令，为内任意两点。，则，； ，。 上面两式相加便得 。 所以当时，函数为凸的。 现证当为凸，存在时，必有。 令，0，，，取，则 上式可写成 。 由中值定理，存在，使 。 再用一次中值定理，便得 ， 此即说明0成立，因此。 由上定理1，可得出定理2。 2.2.2定理 若函数是内具有一阶和二阶的导数，，恒有，则曲线在区间上对定义1、定义2都是上凸的。 3 凸函数的性质 3.1对任意的，如果0，那么对任意，，，，都有 如果0，则不等号方向相反。等号当且仅当时成立。 3.2Jensen不等式 3.2.1定理（Jensen）设为定义在定义1的凸函数，则对任意的实数，，，且，有 ， ⑶ 等号当且仅当时成立。 证明 用数学归纳法。 ⑴时，由凸函数的定义1中的⑴式 ， 且等号仅在时成立，从而结论成立； ⑵设时⑶式成立且等号仅在时成立。 当时，设，， 记 则 ， 从而 且， 有 等号仅在时成立。又由归纳假设，有 因此 ， 即 ， 且等号仅在，从而等号仅在时成立。 综上所述，定理得证。 3.2.2 Jensen不等式还可变形为以下形式： 3.2.2.1设函数为上的严格凸函数，，0，且，则有 ⑷ 成立。当且仅当时等号成立。 3.2.2.2函数为区间上凸函数，当时，有 ， ⑸ 当且仅当时等号成立。 4 函数凸性在证明不等式中的应用 4.1在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值 证明上述不等式用到数学归纳法，其实这些不等式可在