设正数p,q满足p^+q^=,求证：p+q≤.docVIP

设p0，q0，且p3+q3=2，求证：p+q≤2. 考查 不等式的证明 基本不等式 导数在函数中的应用 解答 利用一元二次方程有实根的判别式法 方法一：设p+q=k，则有q=k-p，两边立方，得 q3=(k-p)3=k3-3k2p+3kp2-p3，即p3+q3=k3-3k2p+3kp2， 又因为p3+q3=2，所以得到3kp2-3k2p+k3-2=0 ※ 因为p0，q0，所以k0，从而关于p的方程（※）有实根， 故△=(3k2)2-12k(k3-2)0，解得k2，即p+q2. 方法二：利用p3+q3=(p+q)3-3pq(p+q)=2,pq=； 设p+q=k，从而pq=， 故p、q是关于x的方程x2-kx+=0的两个实根， 从而△=k2-40，即，， 解得（说明：亦可以由k0，得到k3-80），所以p+q2. 利用简易逻辑中的反证法 方法三：假设p+q2，则p2-q，两边立方得p38-12q+6q2-q3， 而p3+q3=2，6q2-12q+60，即6(q-1)20，这是不可能的，故p+q2. 方法四：假设p+q2，则p2-q，两边立方得p38-12q+6q2-q3， 即得p3+ q38-12q+6q2=6(q-1)2+22， 从而p3+ q32，这与已知条件“p3+q3=2”矛盾，故p+q2. 利用基本不等式或均值不等式 方法五：pq=，又p+q0， 所以得到4(p+q)3-83(p+q)3，即(p+q)38，从而p+q2. 方法六：因为p0，q0，所以p+q，两边平方得pq ； 又因为(p+q)3=p3+q3+3pq(p+q)=2+3pq(p+q) 2+3， 解得p+q2. 方法七：因为p0，q0，所以， 两式相加，因为p3+q3=2，得. 用导数在函数中的应用来求解 方法八：设x=p，则根据条件有q3=2-x3，从而q=， 设函数，其中(0, )， 求导，； 令，得， 列表得 x (0,1) 1 (1, ) + 0 - f(x) ↑ 极大值（最大值） ↓ 从而，即p+q2. （说明：事实上，通过上面的分析，得到. 方法九：由于p3+q3=2，所以1-p3=q3-1，故p3,1,q3成等差数列，设公差为d， 则有p3=1-d，q3=1+d，其中d∈(-1,1)，p+q=； 记 ， 可见函数在区间(-1,0)上是增函数，在区间(0,1)上是减函数， 从而，即p+q2. 方法十：根据条件有， 又，设 即，其中 然后求导（略）. 利用向量来求解 方法十一：设m=(,)，n=(,)，则有m·n|m||n|， 即p2+q2，即p2+q2， 而，所以，解得p+q2. 利用函数的凸性来解 方法十二：考察函数在区间上是下凸函数， 从而对于区间内的任意两个实数p、q， 都有，即， 因为p3+q3=2，所以，p+q2.