课外补充习题和自测题导数的应用.docVIP

基本题 1.求下列函数的单调区间: (1), (2), (3), (4), (5). 2.设函数在上有连续的二阶导数,且,,证明函数在内严格单调增. 3.讨论方程(常数)有几个实根. 4.证明下列不等式: (1)当时,, (2), (3)当时,, (4)当时,. 5.求下列函数的极值: (1), (2), (3) , (4), (5), (6), (7). 6.试问为何值进,函数在处取得极值?是极大值还是极小值?并求出此极值. 7.求下列曲线的上下凸区间及拐点: (1), (2), (3), (4). 8.试确定常数之值,使得(2,4)为曲线的拐点. 9.已知曲线在点(1,2)处具有水平切线,且原点是它的拐点,试求的值,并写出曲线方程. 10.试确定曲线 中的常数,使得该曲线的拐点处的法线通过原点. 11.应用函数的凸性,对于实数,证明下列不等式,并指出何时等号成立. (1), (2) , (3), (4) . 12.讨论函数的性态,并画出函数的图形: (1), (2), (3), (4), (5), (6). 13.若曲线上的动点沿曲线无限远离原点或时,点 到定直线 的距离趋于零,则称此定直线为曲线当(或)时的斜渐近线.其中斜率和截距分别为 和 . 当这两个极限中有一个不存在时,曲线就不存在斜渐近线. 试求下列曲线的渐近线(包括水平、铅直和斜渐近线): (1), (2), (3). 14.求下列函数在指定区间上的最大值与最小值: (1), , (2), , (3), , (4), , (5), , (6),, (7), ,. 15.制作一个底是正方形的,容积为V的长方体盒子,当(1)是有盖盒子时,(2)是无盖盒子时,如何设计底边与高的尺寸,使材料(面积)最省? 16.求曲线与直线间的最近距离. 17.用一块半径为R的圆形铁皮,剪去一圆扇形,制成一个圆锥形的无盖容器,试问怎样剪法,使容器的容积最大?(提示:先设圆锥的高为目标函数的自变量,求出之后再算出剪去圆扇形的圆心角.) 18.设由,和围成的第一象限中的一区域,试分别求内接该区域的面积最大的矩形和周长最大的矩形.(提示:矩形的一顶点在曲线, 一条边在轴上.) 19.在抛物线上求一点,其中,使该曲线在P点的切线和法线及轴所围成的三角形面积达到最小. 20.设某细菌群体的数量N(t)是由下列函数模型确定的 , 其中是时间,以周为单位,试问该细菌群体在多少周后数量达到最大?其最大值是多少? 21.设用某仪器测量一个目标次,读得数据为,问以怎样的数值来表达所要测量的真值,才能使得它与个读数的偏差平方和达到最小? 22.设商场以每件120元的进价购进一批服装,已知该商品的需求函数为(其中Q为需求量,单位是件;为销售价格,单位是元),每件服装商场要交税1元,试问销售价定为多少时,才能获得最大利润?最大利润是多少? 23.求下列曲线在指定点处的曲率: (1) ,在点, (2) ,在点. 24.用切线法求方程在隔根区间内的实根近似值,误差不超过. 25.用切线法求方程实根的近似值,误差不超过. 自测题 一、单项选择题 1.设,下列命题正确的是( ). A.是的驻点 B. 是的极大值点 C.是的极小值点 D.是曲线的拐点 2.设在上连续,是的极小值点,则下列判断正确的是( ). A.必为的驻点 B.都有 C.是极大值 D.以上皆非 二、填空题 1.函数的严格单调增区间是 ,严格单调减区间是 . 2.设曲线有拐点(1,-1),且在处取到极大值1,则_______ , ________ ,________ . 三、证明题 证明有. 四、讨论题 1.就的取值范围讨论方程的实根个数. 2.外切于半径为1的定圆的等腰三角形,在什么情况下它的面积最小. 五、作图题 讨论函数的性态,并作出其简图.