课时作业 坐标系.docVIP

课时作业72　坐标系 时间：45分钟　分值：100分 一、填空题(每小题5分，共45分) 1．在极坐标系中，点P的坐标为(3，π)，则点P的直角坐标为________． 解析：点P的直角坐标为(3cosπ，3sinπ)， 即(－，)． 答案：(－，) 2．在直角坐标系中，点P的坐标为(－1，－)，则点P的极坐标为________． 解析：ρ＝＝2， θ＝π，即P(2，π)． 答案：(2，π) 3．(2013·江西卷)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________． 解析：曲线C的普通方程为y＝x2，又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y， 代入得ρ2cos2θ－ρsinθ＝0，即ρcos2θ－sinθ＝0. 答案：ρcos2θ－sinθ＝0 4．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距离为________． 解析：直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的直角坐标方程为x＋y－2＝0，极坐标(1,0)的直角坐标为(1,0)，点(1,0)到该直线的距离为d＝＝. 答案： 5．极坐标系下，直线ρcos(θ－)＝与圆ρ＝2的公共点个数是________． 解析：将已知直线和圆的极坐标方程分别化为普通方程为x＋y＝2，x2＋y2＝4，由于圆心到直线的距离d＝2，故直线与圆相交，即公共点个数共有2个． 答案：2 6．过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为________． 解析：点对应的直角坐标为(1，)， 过点(1，)平行于x轴的直线方程为y＝， 化为极坐标方程为ρsinθ＝. 答案：ρsinθ＝ 7．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________. 解析：曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB＝. 答案： 8．在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ＝4sinθ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为________． 解析：由曲线C：ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，x2＋y2－4y＝0，x2＋(y－2)2＝4，即曲线C：ρ＝4sinθ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ长度的最大值是4. 答案：4 9．(2013·湖北卷)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，ab0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋)＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________． 解析：椭圆的普通方程为＋＝1，l的直角坐标系方程为x＋y＝m.圆的直角坐标系方程为x2＋y2＝b2，椭圆焦点(c,0)在直线上，则c＝|m|，直线与圆相切，则＝b，即b＝c，e＝＝＝. 答案： 二、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 10．(15分)已知圆的极坐标方程为：ρ2－4ρcos＋6＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系． (1)将圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若点P(x，y)在该圆上，求x2＋y2的最大值和最小值． 解：(1)圆的极坐标方程化为：ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0. 直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0. (2)由(1)知圆心(2,2)，半径r＝，圆心到原点O的距离d＝2，|OP|max＝3，|OP|min＝，所以x2＋y2的最大值为18，最小值为2. 11．(20分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程． 解：在ρsin(θ－)＝－中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C经过点P(，)， 所以圆C的半径PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ. ——创新应用—— 12．(20分)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的参数方程是 (t为参数，0≤α≤π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C. (1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|； (2)当φ＝时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值． 解：(1)依题意，|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos(φ＋)， |OC|＝4cos(φ－)， 则|OB|＋|OC|＝4cos(φ＋)＋4cos(φ－) ＝2(cosφ－sinφ)＋2(co