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近代数学讲座 数据包络分析及其应用 背景 数据包络分析及其应用已获准国家基金委重点项目，核心技术就是数据包络分析，国家加入WTO后，面对新经济时代的到来，如何迎对新的挑战，知识更新非常快，这需要在管理水平方面大幅度提高。怎样提高？管理模式非常重要，好的管理模式可以大幅度提高工作效益，比如美国一个商人曾提出“工时研究”的概念，结果他的钢铁厂的效益成几倍地提高，他的概念很快在美国及其它国家被采用。但一百年以后的今天，泰勒的办法已经过时，进一步需要开发领导及员工的智慧、潜能、积极性。数据包络分析是从数学角度来对产出效益、水平进行详细分析。 数据包络分析 生产可能集 尽可以投入少，产出多，这个题目开始定型地研究是1959年美国一个经济学家开始研究的，什么是生产可能集？ T=｛（X、Y）产出Y能够用投入X产生出来｝ TH1无效性：假设（X0、Y0） ?T(i)若x1xo 则（x1 y0）?T (ii) 若y1 y0 则（x0 y1）?T 令x=αx1+(1-α) x2 y=αy1+(1-α) y2 (x y ) ?T 假设给了（xi yi）?T I=1,2……n 若（x1 y1）?T，（x2 y2）?T 则（x y ）?T 三角形（x1 y）（x2 y2）（x3 y3）?T X=αx1+（-α） α?[0,1] =βx2+(1-β) x3, β?[0,1] X=xx1+（1-α）βx2+（1-α）（1-β）x3 则（X Y）?T 一般情况，设（x i. Yi ）?T I=1,2……n T =｛(x ,y ) x1=0｝ 称为用（xi yi） （I=1,2……n）组成的凸组合。 扭结理论（扭结、不变量和多项式） 扭结、链环的定义和理论 扭结，我们在现实生活中经常会碰到用到，要比较扭结的不同，需要氢端点固定，那么什么是扭结呢？ 扭结的定义：把单位圆周到三维欧氏空间的一个嵌入称为一个扭结、把单位圆周嵌入到平面上，得到的扭结是一个（拓扑）圆盘的边界， 这样的扭结称为平凡扭结。 链环：空间中由有限个互不相交的扭结组成的几何对象扰称为一检点链环，这样，扭结就是只有一个分支的连环 扭结的等价性，投射圆和Reidemeister定理 一个扭结可以在空间中自由连续地变形，但不许剪断，不谐振动粘合，如果一个扭结在空间中可以经过这种移位连续变换变成另一个这要的两个扭结是等价的，或称为相同的。 扭结的表示，对于一个扭结K，在空间中取一个平面P，考虑在P上的投影圆，适当地在空间中挪动K，使得投影图满足如下条件：A、只有有限个重叠点。B、每个重叠点都是二重点。C、在每个二重点，上下两线交叉穿越在上面的线用实线表示，这样的一个圆就称为K的一个标准投影图。 容易知道，对扭结的一个投影图作如下三种变换，不改变对应的扭结。 两个投影图决定的扭结是等价的当且仅当其中一个投影图可以经过有限论的上述三种变换和同痕（适当地）移动变为另一个。 扭结的理论及历史回顾 扭结理论的基本问题 任给两个扭结，怎样识别它们是否相同 任给一个扭结，它是否是平凡的，是否是非平凡的？ 数学上的一个扭结理论是：扑学的一个重要分支及组成部分，扭结理论就是研究扭结在连续变形下保持不变的特性，其目的在于告诉人们如何区分不同扭结，由于扭结既直观又充满奥妙，扭结理论有通俗妙趣横生的一方面，又有极其深刻的内涵，并且与分子生物学，理念物理等自然科学领域密切相关。 Jones 多项工及应用 扭结理论的主要课题，是寻找既有理论的分辨不同扭结的能力，又易于计算的不变量。 1981年，新西兰数学家J·Jones发现了链环的一个不变量——后来被称为Jones多项式，这是扭结理论（也是数学上）的一个重要突破。扭结不变量的研究因此被推到世界数学舞台的中央，受到举世瞩目，至今仍非常活跃，硕果累累。 定理：存在一个对应V，使得给每个定向投影图联系上t 的整系数多项式V（L），满足： 如果K，L对应的是等价的扭结（或链环）则V（K）=V（L） t-1v( ) -tv( )=(t1/2-t-1/2)v ( )其中的代表只在某一交叉点这样不同，其它完全相同的，有同投影。 V（0）=（ 图） 小波分析和现代科学 ·小波分析和现代科学 ·小波和小波变换 ·小波分析和时频分析 ·正交小波和多尺度分析 ·多分辨分析和余字塔算法 ·malvar 小波 ·小汉包（mavelet packets） ·总结和展望 历史 1910年初次出题同小波分析，从1978年以后才出现一系列的研究，1989年以后出现一个研究的高峰期。 两种研究变化的主要工具：1）导数2）频率（fourier 变换） 但在导数不存在的点，这个点是什么样的呢？这两种方法都是失效的。 fourier 变换把一个